Векторы локального базиса е/ в новой системе координат (3.13) выражаются через базис (3.5) следующим образом:

Разложим теперь вектор а по векторам базиса (3.16):

а = aeif = а eiB\,. (3.17) Из (3.12) и (3.17) имеем

а = В\,а. (3.18)

Умножая обе части (3.18) на суммируя по г и учитывая (3.15), получим

А\а = А\в\,а = 8[J = (3.19)

Умножив скалярно вектор а (3.12) на е:

а ej = aQij = aiSj = а, (3.20)

в новой системе координат из (3.20) будем иметь

aj/ = а ejf. (3.21)

Учитывая (3.16) и (3.20), получим из (3.21)

ajf = а ejBj, = ajBj,. (3.22)

Наконец, используя второе разложение (3.12) вектора а в старом и новом базисе, запигием

г = ще = а,>ё = агВ\,р\ (3.23)

откуда

е = А\е\ (3.24)

Теперь выясняется смысл введения верхних и нижних индексов. Как видно из (3.19) и (3.24), величины с верхним индексом преобразуются с помощью матрицы А\ {контравариантный закон преобразования), а величины (3.16) и (3.22) с нижним индексом - с помощью обратной и транспонированной к А\ матрицы В\, {ковариантный закон преобразования).

Назовём компонентами тензора {п + т)-го ранга, п раз ковариантными и т раз контравариантными, систему величин ciii ,in преобразующуюся при переходе к новой системе координат (3.13) по закону {тензорному закону) [48,50]

хЛЛ---\%..../- - (3-25) Чтобы построить по компонентам (3.25) сам тензор (п + + т)-го ранга - инвариантный объект, не изменяющийся при преобразованиях (3.13), введём полиаду {п + т)-то порядка:

(g) е2 0 0 gin g. (g) (g) ... (g) e, (3.26)

как конгломерат, составленный из векторов ковариантного (3.5) и контравариантного (3.9) базисов отсчётной конфигурации. Нетрудно видеть, что полиада (3.26) преобразуется при переходе (3.13) от одной системы координат к другой по тензорному закону:

е1 g) е2 g) ... g) еg) е,-/ g) е,-/ g) ... g) е-/ =

= л. /\ ... л . В\, В% ... В% е1 0 е2 ...

*1 *2 Зу 32 Зш

... 0 е 0 Cj, 0 0 ... 0 е-. (3.27)

Символ g) называется символом тензорного произведения. Итак, тензор (п + т)-го ранга а может быть записан в виде

g)e- ®ej2®...®ej. (3.28)

Полиада второго порядка называется диадой. В зависимости от типа составляющих её векторов она представляется четырьмя различными способами, в результате чего тензор второго ранга имеет следующие записи:

а = aijp g) = а/е g) Cj = а-е g) = а-е g) е. (3.29) Тензор /,

/ = 8)ёг ® ё = ёг®ё = Qije ® Р = gei 0 ej, (з.зо)

называется единичным тензором второго ранга.

Очевидно, что вектор является тензором первого ранга, а скаляр - тензором нулевого ранга. Не всякая величина, у которой отсутствуют индексы, есть скаляр. Рассмотрим, например, ковариантную фундаментальную матрицу (3.6). Ясно, что

дгз = = В\,В.ё, . ej = B\,B.g,j, (3.31)

имеющие длины \dd\ = fgifdnTdn?, \db \ = /gij~dЫdЫ, \dc\ = = gij d& dcJ. Рассмотрим выражения для скалярного, векторного, тензорного и смегианного произведений этих векторов.

а) Скалярное произведение

da db = gij da dW. (3.35)

б) Векторное произведение. Используя компоненты тензоров Леви-Чивиты, получим

da X db = л/geijkda dW = edai dbj е/. (3.36)

Векторное произведение da х db совпадает с векторным элементом площади параллелограмма, построенного на векторах da и db. Поэтому

do = dSo п = /gcijk da dV e,

{do)a = riado = /g eijada dW,

где n = nkC - единичная нормаль к площадке в отсчётной конфигурации.

в) Тензорное произведение

da®db = da dW (g) Cj. (3.38)

г) Смешанное произведение

{da X db) . dc= e.jkda dW dcK (3.39)

и определитель д матрицы (3.6):

g={det\B\,\fg, = Л Гд (3.32)

ХОТЯ и не имеет индексов, однако не преобразуется по тензорному закону, т.е. скаляром не является.

Нетрудно видеть, что определитель любой матрицы, в том числе А*, может быть записан с помощью символов Леви-Чивиты следующим способом:

\A\\ = A\A\A-ie-. (3.33)

Следовательно, символы Леви-Чивиты, вообще говоря, не являются компонентами тензора третьего ранга. Однако величины /geijk и tIл/д при переходе от одной криволинейной системы координат к другой преобразуются по тензорному закону. Выберем три вектора da, db, dc:

da = daei, db = dWcj, dc = dc4, (3.34)