\Еа\ = yjEa = (3.43)

Матрица , обратная к Gij, удовлетворяет соотношениям

GGkj=6 G,kG = 6/, \G\ = (3.44)

и называется контр авариантной фундаментальной матрицей актуальной конфигурации.

Контр авариантный локальный базис Е актуальной конфигурации получается с помощью поднятия индексов:

E = GEj, (3.45)

причём

Ё. = G&Ek El = G&Gki = G4\ = G, (3.46)

Ё. 4 = GjkE. Ё = GjkG = 5/. (3.47)

Единичный тензор / может быть выражен и с помощью диады актуальной конфигурации:

1 = ЁгЁ = GjE ® Ё = GE, ® Ej. (3.48)

Возьмём три вектора (3.34), составленные из материальных частиц. Им в актуальной конфигурации соответствуют векторы

dA = daE, dB = dVEj, dC = dcEk. (3.49)

Смешанное произведение {da х db) dc представляет собой ориентированный объём dVo элементарного косоугольного параллелепипеда, натянутого на векторы da, db и dc\

dVo = da dW dcK (3.40)

Нулевой индекс в (3.37), (3.40) соответствует отсчётной конфигурации.

Рассмотрим теперь радиус-вектор актуальной конфигурации (3.2). Введём ковариантный локальный базис Ei\

-> Br

Ег = ёё (3.41)

И определим ковариантную фундаментальную матрицу актуальной конфигурации:

Gij = Gji = Ei-Ej, G=\Gij\0. (3.42)

Согласно (3.41) и (3.42)

\dM dso \l grnndd- >

Относительное изменение площади dT,Q получим из (3.37) и (3.52):

а относительное изменение объёма dVo - из (3.40) и (3.55):

dv Ig

dVo V 9

(3.59)

Их длины равны \dA\ = Gij da da, \dB \ = л~СШ~Ш,

\dC \ = fGjJdd~dcP. Для этих векторов справедливы нижеперечисленные операции.

а) Скалярное произведение

dAdB = GjdadW. (3.50)

б) Векторное произведение

dAxdB = VGe.jkda dW = -ed dbj Ё, (3.51)

= TV = VGe kda dW Ё\

i- (o.ozj

dYoc = aAY = VGcijadadV.

В (3.52) /V = NkE - единичная нормаль к площадке в актуальной конфигурации.

в) Тензорное произведение

dA®dB = da dW Ei ® Ej. (3.53)

r) Смешанное произведение

{dA X dB) . dC = VGe.jkda dW dc\ (3.54)

dV = VGe,jkda dV dcK (3.55)

Рассмотрим теперь величины, характеризующие актуальную конфигурацию среды. Так, относительное изменение длины материального вектора da имеет вид

, = Й = ./ g-f у . (356)

\da\ у дтп da da

Если а = г, то согласно (3.1) и (3.2)

= Ti.Ek. (3.66)

Скалярно умножая обе части равенств (3.65) и (3.66) на и соответственно и учитывая (3.11) и (3.47), получим еле-

Векторы da и db ортогональны, но векторы dA и dB, вообще говоря, таковыми не будут, ибо

ыл-лт Gmndadb .

cosfaA, dB) = --- = , . (3.60)

\dA\\dB\ Cjda dWGki da dU

Рассмотрим теперь некоторый вектор а с компонентами а в отсчётной и А* в актуальной конфигурациях:

a = aV, = АД, (3.61)

и возьмём частную производную по от всех частей равенства (3.61). Получим

да да дёг дА дЁ,

Равенства (3.62) запишем следующим образом:

Щ = V,a = V.aek = V.AEk, (3.63)

где введены ковариантные производные контравариантных компонент векторов а я А:

(3.64)

Величины Vij и V-- представляют собой символы Кристоф-феля второго рода соответственно в отсчётной и актуальной

конфигурациях. Из (3.62) и (3.64) следует, что Г являются коэффициентами разложения векторов дёг/д в базисе е:

Bp- о ,

= Г.,Ч, (3.65)

а Fjj суть коэффициенты разложения векторов dEi/d в базисе