(3.67)

Покажем, что

° ; 1

I 1 r<lm (9Gim , dCjm dGij

Для этого воспользуемся определением (3.6) и преобразуем выражение, стоящее в правой части (3.68) в скобках:

dgim dgjm dgij

дз дё д

приведение подобных слагаемых в (3.70) произошло в силу равенства смешанных частных производных:

dcj дг дг dej

дз ддз дзд д

Умножим, наконец, оба конца цепочки (3.70) на д/2 и с учётом (3.67) получим требуемое равенство (3.68). Совершенно аналогично доказывается и равенство (3.69).

Формулы (3.65), (3.71) указывают на симметрию символов Кристоффеля второго рода по нижним индексам:

Г,> = Г,>, Г,/ = Г/. (3.72)

3 ij

получить символы кристоффеля первого рода Tij-n и Tij-n-

ij;n - ij 9ln - ij,n - i/Gin = , (3.73)

которые также симметричны по первым двум нижним индексам.

Подставим в (3.73) выражения Tij и T-j из (3.68) и (3.69), будем иметь

Из символов Tij и Г-- путём опускания индексов можно

дующие явные выражения для Vij и Г-:

Разложим вектор а (3.61) в базисах Р и Ё отсчётной и актуальной конфигурациий:

=агё = АгЁ\ (3.76)

Дифференцируя соотношения (3.76) по и пользуясь (3.67), получим

=Vja = Vjake = VjAkE\ (3.77)

где введены ковариантные производные ковариантных компонент векторов а и А:

(3.78)

При этом

; = Л.е- f = -Г,.Ё. (3.79)

Заметим, что соотношения (3.65), (3.66) и (3.79) могут быть записаны следующим образом:

Ve, = О, VjE = О, Vje = О, VjE = 0. (3.80)

Аналогично имеем для любого тензора, например для тензора Ь:

Ь = Ьёгё = ВЕ,®Е, (3.81)

дЬ ° . .

= Vkb = Vkbje 0 Р = VkBjE, ® Е, (3.82)

(3.83)

Как следует из вышеприведённых обозначений, запятая в нижнем индексе означает ковариантную производную в отсчётной конфигурации, а вертикальная черта - ковариантную производную в актуальной конфигурации.

j - i =

daj f I dai dTjj o i f дщ

I f dai

-Ti.am -rjk4-r,ram . (3.85)

Если в (3.85) поменять местами индексы j я к, г затем вычесть одно соотношение из другого, получим

о

Cii,[jk] = Ciijk - Cii,kj = Rjki 0.U (3.86)

Щкг - кзг - +

\ гк mj ij -L тк -

+ Г -Г,М , (3.87)

а пара индексов в квадратных скобках означает операцию альтернирования по этим индексам (3.86). Соотношения (3.87) определяют компоненты тензора кривизны Римана. Для евклидова пространства они тождественно равны нулю.

Симметрия, следующая из определения (3.87), а также тождества Риччи

Щкг + Пкгз + кзк = 0, (3.88)

Отметим, что ковариантные производные величин, не имеющих индексов, совпадают с соответствующими частными производными, причём такой величиной может быть не только скаляр с, но и любой инвариантный объект, например вектор а или тензор второго ранга Ь. Этот факт отражён в формулах (3.63), (3.77) и (3.82).

Из (3.80) следует

ft fc = 0, 5!fc = 0, G fc = 0, G% = 0. (3.84)

Рассмотрим теперь повторную ковариантную производную aijk ковариантной компоненты вектора а. Пользуясь правилами дифференцирования (3.78), запигием