влекут за собой тот факт, что число независимых компо-

нент Rjki в Л-мерном пространстве равно Л(Л - 1)/12. В трёхмерном пространстве их всего шесть, в двумерном - одна. Опуская с помощью gin индекс / в тензоре Римана:

о о

Rjkin = Rjki Qin (3.88)

получим из (3.87) для евклидова пространства

RjHn 2 + r,fe-r,; = 0. (3.89)

Выполняя описанные выше выкладки для актуальной конфигурации, получим, аналогично (3.89):

Щып 2 + Г -Г,; ) = 0. (3.90)

ЛЕКЦИЯ 4 МЕРЫ ДЕФОРМАЦИИ

За меру деформации естественно принять величину, которая показывает, как изменяются длины материальных волокон при деформировании и как изменяются углы между ними. Этим требованиям удовлетворяет фундаментальная матрица актуальной конфигурации Gij. В самом деле, в предыдущей лекции было установлено, что с её помощью рассчитывается относительное изменение длины волокна (формула (3.56)), изменение угла между двумя волокнами (формула (3.60)), изменение площади параллелограмма, построенного на двух материальных векторах (формула (3.58)), и объёма параллелепипеда, построенного на трёх материальных векторах (формула (3.59)). Очевидно, что никакого деформирования не происходит, если фундаментальные матрицы отсчётной и актуальной конфигураций совпадают {Gij = gij). Поэтому естественно принять в качестве компонент тензора деформации Sij полуразность компонент этих фундаментальных матриц:

гз = {Сгз-дгз). (4.1)

Чтобы связать компоненты деформации (4.1) с вектором перемещений (1.16), продифференцируем (1.16) по координате

г = + ег. (4.2)

Тогда из (3.42) имеем

Gг, =ЕгЕ,= -- + ё

ди Л (д

ди ди ди ди

д дз di дз и из (4.1) и (4.3) получим

I { ди ди ди ди \

Но соотношения (4.2) можно записать в виде

el = Д - f (4.5)

Тогда из (4.4) имеем

И ИЗ (4.1) и (4.6) получим другое выражение для компонент деформации:

, -[е.. + Е,.-.]. (4.7)

Разложим вектор перемещения (1.16) по векторам базиса в отсчётной и актуальной конфигурациях:

иёг = иЁ,. (4.8)

Дифференцируя (4.8) по координате , получим

щ- = Vjue, = VjUE,. (4.9)

Подставляя (4.9) в (4.4) и (4.7), имеем

гз = iUj + U j + ии,ги\) = ([/ + - [/fc,[/,)- (4.10)

В зависимости от выбора базиса на основе (4.10) и (4.9) можно построить различные тензоры. Тензор

2 = e,jeP (4.11) называется тензором деформации Лагранжа, а тензор

3 = eгJЁ®Ё (4.12)

- тензором деформации Эйлера. Тензор

ди ° °

e(g) - = V(g)ir=Vir (4.13)

называется тензором дисторсии (или градиентом вектора пе-ремещения) отсчётной конфигурации, а тензор ди -

E - = Vu=Vu (4.14)

- тензором дисторсии актуальной конфигурации.

4 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский