Рассмотрим тензор F, также являющийся мерой деформации. В литературе его называют аффинором или градиентом деформации:

F=V®f= Vf = e®Vif= (g) = е ® Ei. (4.15)

На основании тензора (4.15) введём обратный градиент деформации Е~:

= V 0 fo = Vfo = Ё V,fo = Ё = Ёег. (4.16)

Тензоры (4.15) и (4.16) взаимообратны. Действительно,

р.р- =е®Ёг Ё ® ej =ё®ёг=1 (4.17)

Построим тензор , транспонированный к F:

= JV 0 f) = f 0 V = (Vf ) = f V = Д 0 ё\ (4.18)

и тензор транспонированный к F~:

= jV (g) fo = fo (g) V = Vfo = foV = ei g) Ё\ (4.19)

Заметим, что тензоры дисторсии (4.13), (4.14) связаны с градиентом деформации следующим образом:

о . о .

V g) гГ = ViT = е g) ViU = е g) 7-- =

= e®{E,-ei) = F-l (4.20)

V 0 Й = V = 0 V, = 0 1 = 0 (Д - е,) = / - F-

(4.21)

С помощью градиентов деформации построим следующие симметричные тензоры [59]:

а) Правый тензор Коши-Грина С

C = FF = e®E,Ej®e = Gje ® (4.22)

б) Левый тензор Коиги-Грина В

B = FF = EePEj= дЁг 0 Ej. (4.23)

в) Правый тензор Алъманси А

А = Е- Е- = Ё®ег Cj ® Ё = gjE ® ЁК (4.24)

г) Левый тензор Алъманси М

М = Р- . Р- =ёг®Ё ® ej = Сёг 0 ej. (4.25)

Ясно, что тензоры F, С, В, А, М могут служить мерами деформации. Из определений (5.18)-(5.21) легко заключить, что С и М взаимообратны, так же как и В и А:

СМ = МС = 1, BA = AB = L (4.26)

Умножив обе части равенства (4.1) на е® либо на Е® , с учётом (4.22), (4.24) получим выражения тензоров деформации (4.11), (4.12) в виде

7 = (С-1), a = i(I-4). (4.27)

Пользуясь введёнными обозначениями, тензоры деформации Лагранжа и Эйлера (4.27) можно выразить через тензоры дисторсии следующим образом:

VU + {Vuf + Vu . (V) , (4.28)

э=1- (vu + {Vuf - Vu . {VU)A. (4.29)

Докажем далее важную в теории деформаций теорему о полярном разложении тензора второго ранга. Ниже в её доказательстве под F я С подразумеваются тензоры, не обязательно совпадающие с (4.15) и (4.22).

Теорема о полярном разложении. Произвольный тензор второго ранга F можно однозначно представить в виде О

F = QU = VQ, (4.30)

где Q - ортогональный тензор, т. е. = Q~\ а U и V - симметричные положительно определённые тензоры второго ранга, имеющие одинаковые собственные значения.

Для доказательства образуем симметричный тензор С =

= ЕЕ {С = {Е Ff = {Ff . = С). С помощью преобразования F для каждого ненулевого вектора а построим вектор b:b = aF = F -а. Тогда а - С - а = а - F - Е - а = Ь-Ь = \Ь\ > > О, т.е. тензор С положительно определён.

О Здесь F не обязательно градиент деформации (4.15).

Из его симметрии и положительной определённости следует, что в некоторой системе координат его компоненты образуют диагональную матрицу. Обозначим собственные значения этой матрицы через Ар А, A3. Тогда в этой же системе координат некоторый тензор У имеет компонентами диагональную матрицу с элементами Ai > О, А2 > О и A3 > О, так что

c = v -v.

Итак,

/А? О О \ О

/л, о о

(4.3i;

(4.32)

о о Xi)

Докажем, что тензор У - искомый тензор представления (4.30). Действительно из (4.32) следует, что он симметричен и положительно определён. Осталось показать, что тензор

Q-y~ F (4.33)

является ортогональным, т. е. его компоненты в каждой системе координат суть ортогональные матрицы. В самом деле,

Q-Q = F) {рт . V-) = Y--C- V- =

= v- Y-v-v- = 1-1 = 1,

так как У = (У ) = У .

Построим симметричный положительно определённый тензор U:

U = Q-V-Q, (4.34)

С помощью симметричного, положительно определённого тензора V. Очевидно, что из определения (4.34) следует (4.30). Таким образом, представление (4.30) доказано.

Для доказательства единственности этого разложения заметим, что из вида [С] (4.32) следует много других тензоров V, например,

/-Ai О О \

о -Л2 о о о -л

Но все такие тензоры, в отличие от [V] (4.32), не будут положительно определёнными.

Покажем, что тензоры V и U имеют одинаковые собственные значения. Пусть Л - одно из собственных значений V и ему