соответствует собственный вектор к, т. е. V - к = Хк, а I = к - Q, или к = I = Q I. Тогда

и. Г= И @) Г= (И (@ 0) = (А@ Г) = лГ

Если в качестве F выбрать градиент деформации (4.15), то тензором С будет правый тензор Коши-Грина (4.22), г Q, V и и будут называться тензором вращения, левым и правым тензорами растяжения соответственно. Кроме того,

b = aF = aej . 0 Д = аЧ]Ёг = aEj, (4.35)

т. е. у векторов а иЬ, использовавшихся в доказательстве теоремы, одинаковые компоненты в базисах и Д. Так как Q = F, то согласно (4.34)

= F, 0 . {V-)ek 0 ei . e 0 4 =

= (y-i)55/F, 0 4 = (y-)F, 0 Ej. (4.36)

Таким образом, базисом левого тензора растяжения V является диада отсчётной конфигурации, а правого тензора растяжения и - диада актуальной конфигурации:

V = Уге и = иЁ, 0 Ej. (4.37)

В самом деле, по определению (4.31)

= FF = e®E,Ej® Ё = Gje ® ё, (4.38)

= F . F = F, 0 . е 0 Ej = дЁ, ® Ej. (4.39)

Кроме того, из (4.33) легко видеть, что

Q = {и-%ё ® Ё = {У-Уё, 0 Ej, (4.40)

где (V~y и {U~)ij - компоненты тензоров и [/~

обратных тензорам V я U соответственно:

= {у-Уёг 0 ej, JJ- = {и-)гзЁ ®&. (4.41)

Пусть задан закон движения сплошной среды:

f =g.fo + c(t), (4.42)

где Q - ортогональный тензор. Движение (4.42) называется жёстким. Найдём для него тензоры деформации Лагранжа, Эйлера и все определённые ранее меры деформации. Дифференцируя (4.42) по получим

Д = g . е F = 0 (д . е,) = 0 е, . = / . = .

(4.43)

Из соотношений (4.22) - (4.27), (4.43) и ортогональности Q следуют выражения для всех мер деформаций

М = С-=1, В = А-=1, (4.44)

VU=Q -I, VU = l-Q, V = U = l и тензоров деформации Лагранжа и Эйлера

7 = (G-I)=Q, 3 = \{L-A) = Q. (4.45)

Результат (4.45) следует и из (4.28), (4.29). Например:

27 = {Q-D + {Q-L) + {Q-L) ЛЯ-1) =

= g + g-2/ + /-g-g + / = o. (4.46)

Итак, деформация при жёстком движении отсутствует.

Если градиент деформации F таков, что в его разложении (4.30) ортогональный тензор Q является единичным: Q = L то

E = U = V, (4.47)

Т.е. тензор F симметричен. Обратно, если тензор F симметричен, то Q = L В этом случае в приложениях вводится так называемый тензор Генки Н:

Н = \nV= \nU. (4.48)

Обратимся теперь к инвариантам симметричных тензоров второго ранга. По теореме Гамильтона-Кели у таких тензоров А = Aei (g) ej = AijP (g суш,ествует три независимых инварианта, например, линейный ir А - след А, квадратичный trA -

след А А и кубический deiA:

tr 4 = gAij = gijA = 4, det Л = \A\g =

\AгJ\

9 (4.49) tr42 = tr (44 ® k) = A\A). Из (4.49) имеем инварианты правого тензора Коши-Грина

ixC = Gig\ trC2 = G,fcG 5V detC=-. (4.50) Кроме того, из (4.22) следует, что

detF = detV: = dett/= (4.51)

Обозначим собственные значения С, как и в (4.32), через Лр Л2 и Ад, тогда

trC = A? + A + Ai, trC2 = At + A + A, AiC = \\\\\\.

(4.52)

Очевидно, что любая функция инвариантов (4.52) также будет инвариантом тензора С, например:

2 .( G) - tr = Л1Л2 + Л2Л3 + Л3Л1 , gg

[-(trC)3 + 3trCtrC2 + 6detC] =A6 + A + A6 = trC3.

Применим к вектору скорости v = vei = У оператор наб-ла V:

L=Vv = EViV = E = E I

де~ V dt

Найдём разложение тензора L, называемого градиентом скорости, по диадному базису Е (g) Е:

L = V.VjE 0 = Vj\,E ® ЁК (4.55)

Заметим далее, что

ЕЬ = ё®Ёг& ®Щ = ё®Ё1 = {е® Ei) = F (4.56)

в силу равенства нулю векторов (е*) в отсчётной конфигурации. Соотношение (4.56) говорит о том, что дифференцирование