ЛЕКЦИЯ 5 МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

Деформации называются малыми, если перемещения малы: гг <С I, где I - диаметр рассматриваемого тела, и все компоненты тензора дисторсии по модулю много меньше единицы:

W < 1. (5.1)

Согласно (4.20) и (4.17) в этом случае имеем

Vn = I- (1 +W)- =

= /-(I-W+(W)2-...) W, (5.2)

так как слагаемые порядка (УгГ), п 2, в (5.2) имеют в си-

лу (5.1) более высокий порядок малости, чем VU. Таким образом, тензоры дисторсии недеформированного и деформированного состояний совпадают:

щге®ё Uj\,E®&. (5.3)

Поэтому разница между лагранжевым и эйлеровым описанием (лагранжевыми и эйлеровыми координатами) в случае малых деформаций исчезает. Тензоры Лагранжа и Эйлера (4.11), (4.12) в этом случае совпадают:

1 о °

7 = э = 6 = Eije = - (уй + {Vuy ). (5.4)

Компоненты eij тензора малых деформаций е выражаются через перемещения следующим образом:

ij = + = (5.5)

Соотношения (5.5) называются соотношениями Коши.

Вычислим для рассматриваемого случая другие меры деформаций, введённые в прошлой лекции. Согласно определениям (4.22)-(4.25) имеем

С = F . = (/+ W) (/+ W)

l + VU+ (Vuf = / + 2б, (5.6)

B = F -¥={1 + Vuf {L + Vu) ~

/ + (W) + V = / + 2e, (5.7) 4 = F F = (X - Vn) (/ - Vn)

/ - W- (W) = L-2e, (5.8) M = F-- F- = U- W) (I - W)

X - [Vuf - W = I - 2e. (5.9)

Разложим тензор дисторсии Vu на симметричную и антисимметричную части: о

УгГ=б + 0, (5.10)

так что симметричный тензор деформаций е связан с и соотношениями (5.4), а антисимметричный тензор поворотов Q и его компоненты имеют вид

О = (W- (W)), О = -{щ - u j) = [,-,]. (5.11)

С тензором поворотов естественным образом свяжем вектор поворотов О:

И аналогично (4.60), (4.61) найдём

О = 2л/СбыО 0. (5.13)

Выражения для левого и правого тензоров растяжения и тензора враш,ения примут вид

И = С1/2 = л/7Т2/ + б, (5.14)

@ = И £=(/-£) а + £+0)1 +О, (5.15)

U = Q-F={L-Q)U + e + Q)L + e. (5.16)

Выясним геометрический смысл компонент sij тензора малых деформаций. Рассмотрим для простоты в недеформированном состоянии ортонормированный базис fc, так что gij = 5ij и = 1. Выберем в этом состоянии материальное волокно dr

й = -enjEk = eVгUJЁk = rot и, (5.12)

в направлении оси с номером а {координатное волокно):

dXa > 0. (5.17)

Если локальным базисом деформированного состояния является базис Ei, то это же координатное волокно описывается теперь

вектором df\

dr =dXaEa. (5.18)

Заметим, что согласно (4.1) в данном случае Gaa=+£aa

и Ga(3 = 2бск/5.

Найдём отношение Iq, длин (3.57):

1(У -

/ dxq-Eq dxqEJq

dx (ylxiQ dx (ylxiQ

Таким образом,

aa - la ~ -

l+e . (5.19)

(5.20)

T. e. каждая диагональная компонента ea представляет собой относительное удлинение координатного волокна, направленного по оси а. В этом состоит геометрический смысл диагональных компонент тензора малых деформаций.

Вычислим теперь угол ipoLJ между координатными волокнами df() и df (). Из (3.60) имеем

() . df (/?) -=dfHdf(/)

dxoEo, dxE

dxaEa dxaEa\/dxpEp dxpEp

2sap. (5.21)

л/1+2б1+2бда Ho COS (pa(3 = sin(7r/2 - (fap) 7г/2 - (fap = /j a(3, ибо

угол (/9 между координатными волокнами dfg и drj прямой. Итак, недиагональная компонента равна половине угла скашивания 7г/2 - (ра(з ИЛИ половине разности углов между соответствующими координатными волокнами (рис. 21). В этом заключается геометрический смысл компонент тензора деформаций со смешанными индексами.

Наконец, найдём отношение элементарных объёмов dV и dVo в данной Рис. 21