точке. Согласно формуле (3.59) для изменения объёмов

dV G

лт/ = 1/ - = = Vl+2e.. \+еи=\+в, (5.22) П) у 9

в = еи = ire = dwu. (5.23)

Величина в называется дилатацией или объёмным расширением-сжатием и является первым (линейным) инвариантом тензора малых деформаций е. Из (5.22) видно, что

т. е. в есть относительное изменение объёма в данной точке О . В этом состоит геометрический смысл следа тензора деформаций.

В случае малых деформаций, если не будет специальных оговорок, будем иметь дело с прямоугольной декартовой системой координат (с базисом fc), поэтому все индексы можно писать внизу, например: 0/ = ijkij-

Тензор в 1/3 с компонентами e6ij/3 будем называть шаровой частью тензора деформаций, а разность £ - 61/3 обозначать е. Таким образом,

eij = eij + eSij, или б = е+6>/. (5.25)

След тензора е равен нулю:

tr е = tr е - \в tr 1 = в - \ Зв = 0. (5.26)

Такой тензор называется девиатором. Из (5.26) следует, что девиатор и гиаровая часть - взаимно ортогональные тензоры (их полная свёртка равна нулю).

Помимо линейного инварианта - дилатации в - определим согласно (4.49) квадратичный tre и кубический \eij\ инварианты. Однако чаще всего в качестве квадратичного инварианта выбирается интенсивность деформаций би > 0:

(5.27)

2 1. 2

о Имеется в виду объём бесконечно малых окрестностей данной точки.

Выразим det е через инварианты в, би и det б тензора деформаций. Пользуясь (5.25) и (5.27), запишем

\eij\ = eijkeue2jesk =

+ i Oien + £22 + £33) - = liil - 4 ~

Таким образом, det e является кубическим инвариантом тензора деформаций.

Пусть известны компоненты тензора деформаций Sij и требуется определить соответствующие им перемещения. В этом случае на соотношения (5.5) можно смотреть как на систему шести дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка относительно трёх неизвестных функций щ. Естественно, система уравнений (5.5) не всегда является совместной. Заметим, что для однородного деформированного состояния

= е% = const (5.28)

решение имеет вид

u, = e,xj+ul (5.29)

(5.30)

Предположим теперь, что разыскиваемое поле вектора перемещений и достаточно гладкое. Тогда выполняется тождество

Uk,ij - Uk,ji = 0. (5.31)

Добавим в обе части (5.31) выражение Uijk - Ujik.

Uk,ij - k,ji + Ui,jk - Ujik = Uijk - Ujik. (5.32)

Из (5.11) имеем

зг = 2 (i ~ i)- (5.33)

Дифференцируя равенство (5.33) по Xk и учитывая (5.32), получим

ji,k = 2 (i ~ Jik) = £ki,j - £kj,i (5.34)

Продифференцируем ещё раз соотношение (5.34) по xf.

ji,ki = £ki,ji - £kj,ii (5.35)

Левая часть (5.35) симметрична по индексам к и I, так что её свёртка с антисимметричным по к, I символом Леви-Чивиты равна нулю. Поэтому

рЫ ikiji - £kj,ii) = О- (5.36)

Умножим обе части (5.36) на Cqij и просуммируем по i и j:

qijpkl ikijl - £kj,il) = qijpkl kijl = 0. (5.37)

уравнения (5.37) называются уравнениями совместности или условиями совместности Сен-Венана.

Вводя симметричный тензор второго ранга ту, который называется тензором несовместности, с компонентами

Vij = ikl jmn £kn,lm (5.38)

уравнения совместности можно записать в виде [42]

щ = 0. (5.39)

Отметим, что условия совместности Сен-Венана (5.39) справедливы как для малых, так и для больших деформаций, ес-

ЛИ считать е симметричной частью тензора дисторсии УЙ.

Если задано векторное поле перемещений щ, то, находя из соотношений Коши (5.5) малые деформации Skn и подставляя их в (5.38), (5.39), придём к тождествам

ikl jmn {Щ,п1т + UnMrn) = 0. (5.40)

Поэтому соотношения (5.39) иногда называют тождествами Сен-Венана.

Тензор несовместности можно получить из тензора кривизны Римана [48]. Положим для актуальной конфигурации

Ггз гк1 jmn j (5.41)