При этом согласно (3.90)

Rklmn = 2

(5.42)

Считая деформации малыми и принимая ортогональную прямоугольную систему координат, из (3.75) получим

1т;п - 2

d{Sln + 2ein) д{5тп + 2£тп)

d{5im + 2eim

- 1п,т + тп,1 1т,П (5.43)

Тогда из (5.41) для малых деформаций имеем

mj = ikl jmn {ln,mk + £mn,lk £lm,nk) = ikl jmn lm,nk (5.44)

Используя тождество

ikljmn -

(5.45)

из (5.38), (5.39) получим

Щ = + ij - ik,kj - ejkM + фым - Д) = 0. (5.46)

Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор несовместности г? можно представить в виде разложения на шаровую часть и девиатор:

г/ = г/ + /, mj = r]ij + 6ij,

(5.47) (5.48)

7] = ir 71 = rjii, trr/ = 0. Из (5.46) следует, что

= еым - = 0. (5.49)

Легко видеть, что если справедливы уравнения совместности (5.46), то справедливо уравнение (5.49) и уравнения

eij + Asij - £ik,kj - £jk,ki = 0. (5.50)

Поэтому если выполняется хотя бы одна из групп условий (5.46) или (5.50), то справедливо условие (5.49). Другими словами, уравнения (5.46) и (5.50) эквивалентны, т.е. из справедливости одних следует справедливость других [42].

Следовательно, если выполняются условия совместности (5.46), то выполняются условия обращения в нуль всех компонент симметричного тензора второго ранга Н:

Hij = eij + Asij - eik,kj - Sjk,ki + ijikiM - A6>), (5.51)

где - произвольный симметричный тензор-константа второго ранга. Очевидно, что

Hij = Vij при ij = Sij, (5.52)

Hzj=Vzj при = 5,-.

(5.53)

Выберем теперь некоторую точку с координатами и будем считать, что в ней известны перемещения щ{М) = и повороты Qij{M) = Qj. Кроме того, всюду известны деформации Sij. Тогда перемещения в любой точке М с координатами Xi запишем следующим образом:

м мм

щ = +

dui = ui +

Ег, dij +

Qji dL,

(5.54)

где i{M) = х, i{M) = Xi, я преобразуем последний интеграл в (5.54), пользуясь тождествами (5.34):

Qj- dj = Qjij

JnJг,kdk = JгXJ-n%x-

j{eik,j - ejk,i) dk = jiXj - %Xj + QjiXj -

j{e,k,j - ejk,i) dk = %{xj - x) +

+ x,

ji,k dk -

MO M

= n%{x,-x) +

j{eik,j-ejk,i)dk = {xj - ij){eik,j - ejk,i) dik (5.55)

Подставляя (5.55) в (5.54), придём к формулам Чезаро

Ui = Ui + iiXj - Xj

eik + {xj-j){eik,j-ejk,i

(5.56)

В силу сделанных предположений правая часть (5.56) известна в точке М с координатами х. Таким образом, формулы Чезаро позволяют определить перемещения в любой точке (М) среды по заданным всюду деформациям и известным в одной точке (М) перемещениям и поворотам.

В формулы Чезаро входит интегрирование по произвольному контуру, начинающемуся в фиксированной точке Mq и заканчивающемуся в точке М, где и определяются перемещения. Устремим М к так, чтобы этот контур стал замкнутым. Из (5.56) получим

£ik + {xj-j){eik,j-ejk,i)

dk = 0

(5.57)

для любой точки М(х), принадлежащей контуру 7.

Итак, для односвязного тела необходимым и достаточным условием интегрируемости является выполнение условий совместности (5.39), или (5.46), или (5.50), или (5.51). Если же тело многосвязно, то перечисленные условия только необходимы, и к ним требуется добавить по три уравнения (5.57) для каждого контура 7, не стягивающегося в одну точку.