Соотношение (6.10) называется уравнением неразрывности. Оно являетя следствием первого постулата, его дифференциальной формулировкой. В дальнейшем увидим, что все постулаты МСС могут быть сформулированы либо в интегральном виде (для произвольного объёма в любой момент времени), либо в дифференциальном (в любой точке пространства в любой момент времени).

Уравнение неразрывности (6.10) записывают и по-другому. Согласно (6.7)

+ div(p) = 0, (6.11)

ИЛИ, разделив обе части (6.10) на р,

+ div.-=0. (6.12)

Среда называется несжимаемой, если плотность не изменяется со временем: ,

10 (6.>3)

Тогда согласно (6.10)

divf =0. (6.14)

Таким образом, поле вектора скорости при движении несжимаемой среды соленоидально и поток вектора скорости через любую замкнутую поверхность равен нулю. Очевидно и обратное: если скорость удовлетворяет соотношению (6.14), то среда несжимаема.

Обратим внимание, что в определении (6.13) фигурирует полная, а не частная производная по времени. Приведём пример несжимаемого течения, в котором dp/dt ф 0. На рис. 23 изображена неограниченная сплошная среда с плотностью p{x\,t), движуш,аяся поступательно вдоль оси х\ слева направо. Поступательность движения обеспечивает несжимаемость, т.е. dp/dt = 0. С другой стороны, Рис.23

находясь в сечении х\ = хю и наблюдая за частицами, проходящими со временем через это сечение, легко видеть, что сначала шли лёгкие частицы, а затем тяжёлые , т.е. dp/dt > 0. Данный контрпример связан с неоднородностью среды по плотности. Если же материал однороден, т.е. gradp = 0, то равенства

dp/dt = 0 и dp/dt = 0 равносильны и эквивалентны равенству р = Pq = const.

При лагранжевом описании закон сохранения массы формулируется следующим образом:

dm = pdV = ро dVo = dmo,

(6.15)

где dmQ = dm\Q. Учитывая формулы (3.59), (5.22) для относительного изменения объёма, из (6.15) получим

(6.16)

Тогда для малых деформаций имеем Ро = р(1 + ),

Р = Ро(1-).

(6.17)

Как видно из (6.17), при лагранжевом подходе плотность можно определить, зная объёмное расгиирение-сжатие в, т. е. кинематику процесса деформирования.

В дальнейгием пригодится следующая простая лемма.

Лемма 1. Пусть V - жидкий объём. Тогда

d dt

pfdV =

(6.18)

где f{x\,X2,x,t) = f{x,t) - любая функция, для которой существуют обе части равенства (6.18).

< Преобразуем левую часть (6.18), используя лемму о дифференцировании по времени интеграла по жидкому объёму:

pfdV =

К Ml

\ dt

+ pfdWv

dV =

dl , dp dt

f+ pf div V dV. (6.19)

at J

Ho сумма второго и третьего подынтегральных слагаемых в правой части (6.19) в силу уравнения неразрывности (6.10) равна нулю. Лемма доказана. ►

Рассмотрим теперь многофазную сплошную среду [32,39], состоящую из п компонентов, между которыми могут протекать т химических реакций. В процессе реакций состав одних компонентов уменьшается, а других увеличивается. Поэтому, естественно, закон сохранения массы (6.8) и его дифференциальные следствия (6.10)-(6.12), записанные для каждого компонента, выполняться не будут.

Для моделирования многофазных сред примем, что каждая макрочастица с плотностью р состоит из п микрочастиц {компонентов, так что в каждой точке пространства в любой момент времени присутствуют сразу все п компонентов, каждый

с плотностью pa{x,t) (а = 1, . . . , п)!

\ра = р. (6.20)

Назовём величину с,

Cry =

С =1, (6.21)

массовой концентрацией (или просто концентрацией) компонента а. Обозначив через Va{x,t) скорость каждого компонента, определим скорость макрочастицы как скорость центра масс микрочастиц:

= - Vpaa. (6.22)

Введём также для каждого компонента вектор диффузионного потока ja.

ja = Pa{Va v). (6.23)

Суммируя все п равенств (6.23), с учётом (6.20) и (6.22) получим

Y,Ja = 0, (6.24)

Приравняем левую часть уравнения неразрывности (6.11), записанную для компонента с номером а, величине Та, называемой образованием вешества а и равной

ra = iyalJl, (6.25)