где величина VolI пропорциональна стехиометрическому коэффициенту, с которым компонент а входит в 1-ю химическую реакцию; J/ - скорости химических реакций. Таким образом,

+ div(p,,) = T,. (6.26)

Суммируя п равенств (6.26), придём к уравнению неразрывности (6.11), т.е. сумма образований всех веществ в многофазной среде равна нулю:

п п т

а=\ а=\1=\

Соотногаения (6.26) представляют собой уравнения неразрывности для каждого компонента многофазной среды.

Пользуясь уравнениями неразрывности для многофазных сред, выведем уравнения диффузии

p + divi = T , а=\,...,п. (6.28)

Для этого преобразуем левую часть (6.26):

д р д р

+ div {paVa) = + div {paVa paV + PaV)

f I dp . л дра 1 1

p dt

1 dp . dpoL , dp

+ pcdiv - Cc,- - padiv - ~~dt

d{Cap) dp - dCa , 1. on\

= --c.- + div,. = p-+ div,.. (6.29)

Отсюда и следует (6.28).

Вернёмся к понятию силы и рассмотрим элемент массы Am, заключённый в объёме AV и содержащий точку М (рис. 24), а также суммарную силу AR, действующую J на этот элемент. Выполняя предельный пе-( ш реход

AV lim -- = Рш, (6.30)

АУо Am

Рис. 24 Д

получим новый вектор - массовую силу Р\м, приложенную в точке М. Поле F{x,t) образует векторное поле массовых

сил в М и по размерности совпадает с ускорением ( сила, отнесенная к единице массы ). Характерным примером массовых сил является ускорение сил тяготения, в частности ускорение д силы тяжести. Наряду с массовыми силами будем рассматривать

объёмные силы X:

X = pF. (6.31)

Мысленно рассечём плоскостью тело, занимающее объём V (рис. 25) и находящееся в равновесии. Удалим одну из частей этого тела, например правую. Чтобы левая часть оставалась в равновесии, очевидно, к плоскости сечения нужно приложить

Рис. 25

Рис. 26

некоторые силы (рис. 26). Выделим на этой плоскости элементарную площадку АН и обозначим через АД силу, действующую на неё. Стягивая площадку АН к точке М, получим

1 л

АЕО AS

Вектор 51 называется поверхностной силой в точке М на площадке с нормалью п и имеет размерность давления ( сила на единицу площади ). Величина S\x,t) не образует векторного поля, так как зависит не только от точки пространства, но и от площадки, проходящей через эту точку. На последний факт указывает верхний индекс (п).

Для того чтобы найти суммарную силу, действующую на объём V, необходимо проинтегрировать по V вектор X{x,t), а для нахождения суммарной силы, действующей на поверхность И, надо проинтегрировать по S вектор S\x,t). В последнем случае в каждой точке S надо выбирать единичную нормаль n{x,t), отложенную в положительном направлении. Заметим, что SW(f,t) = -S(-)(f,t).

Пусть V - произвольный жидкий объём внутри данного тела, а S - поверхность, ограничивающая этот объём. Назовём интеграл

pvdV

(6.33)

количеством движения, заключённым в объёме V.

Сформулируем теперь второй постулат механики сплоганой среды, или закон об изменении количества движения.

Закон об изменении количества движения (II постулат МСС). Пусть О G М - объём, занимаемый телом в актуальной конфигурации, V - произвольный жидкий объём в а - его граница с единичной внешней нормалью N. Тогда в любой момент времени

pFdV +

(6.34)

т. е. производная по времени от количества движения среды, заключённой в V, равна сумме объёмных сил, приложенных к V, и поверхностных сил, действуюших на S.

Интегральная формулировка (6.34) - обобщение второго закона Ньютона на сплошные среды. По лемме 1 (6.18)

dQ d ~Jt

pvdV =

(6.35)

Рассмотрим тетраэдр, построенный на векторах A = aEi, В = ЬЕ2 я С = cEs, которые направлены вдоль базисных векторов в деформированном состоянии (рис. 27). Объём данного

тетраэдра равен одной шестой объёма косоугольного параллелепипеда, построенного на А, В и С, или, согласно (3.55),

V, = = VGabc\ (6.36) о о

Обозначим Si, Ti2, Из и S площади треугольников ОВС, ОСА, ОАВ и ABC. Первые три