ИЗ них равны половинам площадей параллелограммов, построенных на векторах А, Б, С. Обозначим также через N единичную нормаль к площадке ABC, через в - угол между векторами и 3, а через h - высоту тетраэдра, опущенную из точки О. Из (3.52) и (3.46) имеем

25]1 = л/ёЬ# = л/ёёЬ,

2S2 = fGc\\E\ = /gGo

(6.37)

2S3 = fGaЬ\E\ = /CGab Кроме того, очевидно.

Из (6.36), (6.37)з и (6.38) получим

Так как

/г= (7cos = c3\/g33cos, cos =

N-E.

то h/c = Щ. Подставим это равенство в (6.39):

(6.38) (6.39) (6.40) (6.41)

Очевидно, что в (6.41) вместо индекса 3 можно поставить любой другой, т. е.

= Е =

(6.42)

h NiVG N2Vg ЩС

Применим теперь II постулат МСС к выбранному тетраэдру, воспользовавшись формулой (6.35):

dv dt

dV =

5WdE-

(2)dE-

5(3) dE, (6.43)

где S - поверхностные силы на координатных площадках Иск-Интегралы по Иск в (6.43) входят со знаком минус , ибо внешние нормали /V() к этим площадкам противонаправлены векторам контравариантного локального базиса деформированного состояния.

Пользуясь тождеством (6.42), умножим левую часть (6.43) на /i/(3Vi), первый интеграл в правой части (6.43) на l/S, а каждый из оставшихся интегралов - на NaVG/Та.

h 3Vi J

5(3) dE. (6.44)

Устремим высоту h тетраэдра к нулю. Обозначим пределы:

lim - ео Е

5WdE = 5f\

(6.45)

Тогда из (6.44) и (6.45) в пределе будем иметь

g{N) л/GSИ. (6.46)

Векторы S\ S() носят название векторов истинных напряжений. Наряду с ними введём в рассмотрение векторы напряжений на площадках Иск-

ра fGso) (6.47)

Из (6.46) следует, что

SW = МгР\ (6.48)

Чтобы разобраться в тензорном характере введённых величин, предположим, что направление вектора N совпадает с направлением нового вектора Е контравариантного базиса, преобразующегося при переходе к этой новой системе координат по тензорному закону

(6.49)

В силу коллинеарности векторов N и Ё имеем

Тогда из (6.49), (6.50) следует Поэтому из (6.46) имеем

(6.50)

(6.51)

(6.52)

При ЭТОМ величина S определяется пределом, аналогичным (6.45) при S Не,/.

Из (6.52) видно, что величины S > не преобразуются по тензорному закону. Иначе обстоит дело с величинами Р, входящими в (6.47). Подставляя (6.47) в (6.52), получим

Р = А\Р\ (6.53)

Следовательно, величины преобразуются при переходе от одной системы координат к другой по тензорному закону. Разложим векторы напряжений по векторам базиса:

pzpzjg (6.54)

Нетрудно видеть, что величины Р*- являются компонентами тензора Р:

Р = Р ® Ej = РЁ, ® Ej. (6.55)

Тензор (6.55) называется тензором напряжений Коиги.

Соотношение (6.48) выражают связь вектора напряжений на произвольной наклонной площадке в данной точке с векторами напряжений на трёх координатных площадках в этой же точке.

Возвратимся к интегральной формулировке (6.34) II постулата МСС и подставим в (6.34) выражения (6.35) и (6.48). Преобразуя поверхностный интеграл согласно формуле Остроградского-Гаусса,

V,P dV =

Div PdV,

запишем

-pF- ViP

dV = 0.

(6.56)

(6.57)