Отсюда, а также из основной леммы следуют уравнения движения сплошной среды:

p = \/P + pF или p = DwP + pF. (6.58)

Векторные уравнения движения (6.58) представляют собой дифференциальную формулировку закона об изменении количества движения (II постулата МСС). Если правые части в (6.58) равны нулю тождественно, то говорят о статике. В этом случае уравнения

DivP + pF = 0 (6.59)

называются уравнениями равновесия.

Если же величины, входящие в уравнения (6.58), зависят от времени, но силы инерции pdv/dt пренебрежимо малы по сравнению со слагаемыми в левой части (6.58), говорят о квазистатике. В этом случае также пользуются уравнениями равновесия (6.59).

ЛЕКЦИЯ 7 ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ (продолжение)

Рассмотрим третий постулат механики сплошной среды - закон об изменении момента количества движения. Пусть тело в актуальной конфигурации занимает объём О G М . Введём в рассмотрение вектор В

fx (pv) dV

(7.1)

момента количества движения {кинетического момента) сплошной среды, заключённой в жидком объёме V с границей S (У G О). Аналогично вектору количества движения Q он является обобщением момента количества движения материальной точки и абсолютно жёсткого тела.

Закон об изменении момента количества движения (III постулат МСС). Пусть V - произвольный жидкий объём в У G О, а S - его граница с единичной внешней нормалью N. Тогда в любой момент времени

г X {pF) dV +

(7.2)

т. е. производная по времени от момента количества движения среды, заключённой в V, равна сумме моментов объёмных сил, приложенных к V, и моментов поверхностных сил, действуюищх на S.

Для вывода соответствующих дифференциальных соотношений, как и ранее, сведём все слагаемые в (7.2) к объёмным интегралам, после чего воспользуемся основной леммой. По лемме 1 (6.29) имеем

d It

г X {pv) dV =

d It

p{r X v)dV =

p-{fx v) dV =

p{y X v)dV +

dV =

Подставляя далее в (7.2) вместо S() выражения (6.48), получим

fx PW,dS =

Vi(fx P)dy =

VirxP + fxViP]dV =

Ei XP4V +

fx Div PdV. (7.4)

С учётом (7.3) и (7.4) соотношение (7.2) может быть записано следующим образом:

. / dv - \

dV =

Ei X Р dV.

(7.5)

Выражение, стоящее в скобках в левой части (7.5), в силу уравнений движения (6.58) равно нулю. Тогда по основной лемме в каждой точке

0 = ЁгХР = ЁгХ EjP = Р л/Свф Е\ (7.6)

откуда следует

pгJ рзг (7 J)

Итак, дифференциальным следствием закона об изменении момента количества движения является симметричность тензора напряжений Коши Р [38]. О геометрической интерпретации напряжённого состояния в точке речь пойдёт в следующей лекции.

Заметим, что в прошлой лекции, когда говорилось о многофазной среде, предполагалось, что скорость макрочастицы совпадает со скоростью центра масс микрочастиц (6.22). Это означает, что центр масс микрочастиц совпадает с координатами макрочастицы. Если такое совпадение не осуществляется, то для распределения масс необходимо ввести ещё одну характеристику - тензор моментов инерции макрочастицы, компоненты