которого записываются, например, в виде

к 3 3

где z\ - координаты микрочастицы а относительно макрочастицы.

Введем гипотетический параметр 1 = \z\ z\ - длину

радиуса-вектора микрочастицы а относительно макрочастицы. В этом случае первый инвариант тензора (7.8) имеет вид

(7.9)

Назовём J плотностью моментов инерции. Очевидно, что для неё можно записать уравнение, аналогичное уравнению неразрывности (6.10) или (6.11):

+ J div = О, + div {Jv) = 0. (7.10)

Поэтому для J справедлива лемма 1.

Кроме того, в такой среде должна появиться новая кинематическая характеристика, связанная с вращением микрочастиц. Назовём эту характеристику Д вектором внутреннего вращения. В этом случае говорят о наличии в теле момент-ных напряжений и постулат об изменении момента количества движения (7.2) записывается в виде

d di

f X {pv) dV +

JpdV

fx {pF) + M)dV

5W + gWbs. (7.11)

в (7.11) M - вектор распределённых объёмных моментов в теле;

gW = gw, = g7V,4-, (7.12)

где Q - компоненты тензора моментных напряжений Q =

Дифференциальным следствием постулата (7.11) являются уравнения моментов. Они могут быть получены стандартным путём: сведением всех слагаемых в (7.11) к объёмным инте-

гралам и использованием основной леммы. Не останавливаясь на выкладках, запишем уравнение моментов в векторной форме:

J = M + Pi \/G еф + ViQ\

(7.13)

(7.14)

Из (7.14) видно, что в случае присутствия моментных напряжений тензор напряжений Коши Р, вообще говоря, несимметричен.

Вернёмся к уравнениям движения сплошной среды, записанным в векторном виде (6.58). Умножим их скалярно на df=vdt и проинтегрируем по V. В правой части получим

vdtdV = dt- dt 2 dt

pv vdV = die,

(7.15)

Величину /С назовём кинетической энергией тела, занимающего объём V\

p\v\dV.

(7.16)

Второе слагаемое в левой части (6.58) приведёт к следующему выражению:

pF-vdtdV =

pF -dfdV = SA[\

(7.17)

Скалярное произведение pF dr представляет собой элементарную работу объёмной силы pF на перемещении df, поэтому величину 6Л[ естественно назвать приращением работы объёмных сил. Для выражений, вообще говоря, не являющихся полными дифференциалами, в отличие от интеграла (7.15), здесь и в дальнейшем будем использовать символ S, а не d.

Преобразуем далее первое слагаемое в левой части (6.58) с помощью теоремы Остроградского-Гаусса:

УгР VdtdV = dt

\/г{Р v)dV -dt

vNi dS - dt

= dt - dt

= sAi; - dt

drd -

PEj ViVkE dV = 4 - dt

P%\idV =

PWij dV = 4 -

P dsij dV =

Величину

= 5А[ + SA\

{7.U

назовём приращением работы поверхностных сил, а

м = -

Р den dV

(7.19)

- приращением работы внутренних сил ).

Таким образом, из уравнений движения (6.58) следует одно интегральное скалярное равенство

dK = 8А + 5А\

= 6АГ + 2

(7.20)

(7.21)

есть приращение работы внешних сил. Равенство (7.20) называется теоремой живых сил.

Рассмотрим теперь постулат об изменении количества движения (6.34), который сформулируем в отсчётной конфигурации. Воспользуемся равенством (6.15) для объёмных интегралов и (3.58) - для поверхностного. Тогда получим

d dt

Pqv dVo =

PoFdVo +

(7.22)

0 Верхние индексы (e) и (г) у приращений SA означают соответственно: external - внешний и internal - внутренний .