= е,0р = J-F- ЕгР = J-F- .р. (7.30)

Иногда наряду с тензорами тг и Р рассматривают тензор напряжений Кирхгофа К

К = Ё,®р\ (7.31)

Введём вектор напряжений s на недеформированной площадке с единичной нормалью п следующим равенством [38]:

Из (7.23) очевидно, что векторы напряжений на недеформирован-ных координатных площадках связаны с векторами напряжений на деформированных площадках соотношениями

(7.24)

Подставляя теперь (7.23) в (7.22) и проводя уже знакомые преобразования интегралов, получим уравнения движения сплошной среды в отсчётной конфигурации:

V,p + PoF = po-. (7.25)

В статическом или квазистатическом случаях имеем уравнения равновесия в отсчётной конфигурации:

\/гР + РоР = 6. (7.26)

Разложим векторы напряжений по векторам базиса отсчётной конфигурации:

f=p4,. (7.27)

Введём на их основе тензор напряжений Пиолы, или тензор обобщённых напряжений:

7г = pCi (g) ej = ei® p\ (7.28)

Нетрудно установить связь между тензорами напряжений Пиолы 7г и Коши Р. Для этого умножим скалярно справа обе части равенства (4.19) на Ej и получим, что

g = F- .Ej. (7.29)

Тогда из (7.24) и (7.28) следует

который связан с тензором Пиолы следующим образом:

jr = ep = F- .Ёг®р = F- . К. (7.32)

Рассмотрим теперь формулировку закона об изменении момента количества движения в отсчётной конфигурации. Не останавливаясь подробно на выкладках, аналогичных проделанным в этой лекции ранее, преобразуем интегральное равенство (7.2) к виду

Ро{гх F) dVo +

S dEo (7.33)

И после применения формулы Остроградского-Гаусса и основной леммы получим в каждой точке объёма V

EiXp = 0.

(7.34)

Векторное равенство (7.34) - дифференциальное следствие закона об изменении момента количества движения в отсчётной конфигурации. Из (7.34) не следует симметрия тензора Пиолы тт. Действительно, согласно (3.41) и (1.16)

X р= eiX Cjp + u\ei х Cjp =

= ещ{5\ + и\,)рёК (7.35) В силу (7.34) и (7.35) имеют место равенства

eijkf + eijku\J = 0, (7.36)

показывающие, что тензор тг, вообще говоря, несимметричен.

Умножим теперь обе части (7.25) скалярно на вектор dr = = vdt. Тогда правая часть полученного равенства запишется в виде

dk = d

pov V dVo

откуда

Po\vfdVo.

(7.37)

(7.38)

Из второго слагаемого левой части получим

PqF dfdVo,

(7.39)

a из первого слагаемого

Vif vdVo =

s ( ) dfdEo - dt

РГгУо. (7.40)

Тензорное равенство

F- = 6 ® Е-к = ё

(7.4i;

говорит о том, что подынтегральное выражение в последнем слагаемом в (7.40) можно записать следующим образом:

i7- т 7.

С другой стороны.

Поэтому, обозначая

dv и

54 =

(7.42)

(7.43)

(7.44)

Sa = -dt

7г : F- dVo = -dt

pVji dVo,

(7.45)

получим из (7.39), (7.40), (7.44), (7.45) теорему живых сил для отсчётной конфигурации:

dfc = 5a() + 5a . (7.46)

Так же как и в (4.57), тензор Vv представляется в виде суммы своей симметричной части, тензора скоростей деформаций D = dijP (g) с компонентами

[о о

(7.47)