t = to

Итак, после введения отсчёт-ной и актуальной конфигураций можно определить движение тела как отображение отсчётной конфигурации в актуальную, т. е. заниматься только отображениями фотографий тела, а не самим телом (рис. 3). В силу гипотезы непроницаемости отображе- р 3 ние (1.4) будет биективным.

Место, занимаемое частицей X в отсчётной конфигурации, описывается радиусом-вектором tq:

го = Ш,ЬСзЛо) = хЧ{Ь,ЬСзЛо%, (1.5)

а в актуальной конфигурации - радиусом-вектором г:

г = г{Ь,ЬСгЛ) = Хг{СиЬСгЛ%, (1.6)

где Xi - эйлеровы координаты или координаты места в ящике Я, занимаемого частицей, которая в момент t = to занимала место с координатами х. Из (1.5), (1.6) следует, что соотношение (1.4) можно записать в виде

Xi = Xi(x?,X2,X3, t) или f=f{fo,t). (1.7)

В соотношениях (1.5) и (1.6), как и всюду далее в книге, используются следующие общепринятые правила суммирования [29, 55]:

а) индекс, изображающийся малой латинской буквой, изменяется от 1 до 3;

б) индекс, изображающийся большой латинской буквой, изменяется от 1 до 2;

в) латинские индексы могут встречаться в каждом одночлене либо один, либо два раза; если индекс встречается два раза, он называется немым и по нему производится суммирование от 1 до 3 (если он изображается малой буквой) или от 1 до 2 (если большой), причём для краткости знаки суммы опускаются; если индекс встречается один раз, он называется свободным (во всех одночленах данной формулы свободные индексы должны совпадать);

г) индексы, обозначающиеся греческими буквами, могут встречаться в каждом одночлене произвольное число раз, и по ним суммирование не производится (если, разумеется.

специально не написан знак суммы); разным греческим буквам в индексах в данной формуле обязательно соответствуют разные числовые индексы.

Так, например, компактная запись

diJkLbakCaL = faiJ

эквивалентна системе восемнадцати уравнений (каждое из следующих гаести уравнений надо взять при а= 1,2,3):

а\\\\Ьа\Са\ + Ci\\\2ba\Ca2 + Ci\\2\ba2Ca\ +

+ Ci\\22ba2Ca2 + СЦшЬаЗаХ + Ci\\32ba3Ca2 = fall, Ci\2\\ba\Ca\ + 012121 Сск2 + Ci\22\ba2Ca\ +

+ Ci\222ba2Ca2 + Ci\23\ba3(a\ + Ci\232ba3(a2 = fa\2 02\\\ba\Ca\ + 0.2\\2ba\Ca2 + (2\2\ba2<a\ +

+ 02122ba2Ca2 + 0.2\3\ba3(a\ + Ci2\32ba3Ca2 = fa2\ Ci22\\ba\Ca\ + Ci22\2ba\Ca2 + Ci222\ba2Ca\ +

+ 02222ba2Ca2 + Ci223\ba3(a\ + Ci2232ba3(a2 = fa22 03\\\ba\Ca\ + Cis\\2ba\Ca2 + Cis\2\ba2Ca\ +

+ Ci3\22ba2Ca2 + 03131 аЗС! + 03132ЬаЗСа2 = /аЗЬ Ci32\\ba\Ca\ + 32\2ba\a2 + а322\Ьа2Са\ +

+ 03222ba2Ca2 + Ci323\ba3(a\ + Ci3232ba3(a2 = /а32-

Сравнение двух предыдущих формул, без сомнения, убедит читателя в преимуществах использования тензорной алгебры.

Вернёмся к соотношениям (1.7). Они устанавливают связь между отсчётной и актуальной конфигурациями, т. е. описывают закон движения сплошной среды. В силу условий непроницаемости

(1.8)

соотношения (1.7) можно обратить следующим образом:

х- = х-(х1,Х2,хз, t) или fo = fo(f, t). (1.9)

Если в отсчётной конфигурации зафиксировать материальную частицу (например, имеющую лагранжевы координаты х- = = Ci), то из закона движения (1.7) получим уравнение линии:

x, = x,(Ci,C2,C3,t). (1.10)

Эта линия называется траекторией частицы.

Если теперь положим в отсчётной конфигурации

х1 = С2 = const, = Сз = const, (1.11)

т. е. зафиксируем прямую линию, составленную из материальных частиц, параллельную оси координат (Ох), то в актуальной конфигурации в фиксированный момент времени t = Т = const получим

х, = х,(х?,С2,Сз,Г). (1.12)

Уравнения (1.12) описывают некую кривую, составленную из материальных частиц, которые в отсчётной конфигурации лежали на прямой (1.11).

Если теперь положим в отсчётной конфигурации

х1 = Сз = const, (1.13)

т. е. зафиксируем плоскость, составленную из материальных частиц, параллельную координатной плоскости (0xX2), то в актуальной конфигурации в фиксированный момент времени t = Т = const получим

х, = х,(х?,х,Сз,Г). (1.14)

Уравнения (1.14) описывают поверхность, составленную из материальных частиц, в которую перегала при движении сплоганой среды плоскость (1.13).

Из (1.11), (1.12) следует, что ортонормированный базис, составленный из материальных частиц в отсчётной конфигурации, вообще говоря, превращается в актуальной конфигурации в криволинейный базис [36].

Заметим, что в силу (1.8) можно обратить соотногаения (1.5) для материальных координат i.

i = Uxixlxlto). (1.15)

Введём в рассмотрение вектор перемещения как разность векторов г и Го (рис. 4):

й=г-го. (1.16) Рис.4

Компоненты щ в базисе ki можно считать функциями лагранже-вых координат и времени: щ = г(хр Х2, Х3, t).

Продифференцируем обе части закона движения (1.7) по времени и определим вектор скорости v с компонентами Vi в базисе ki, являющимися функциями лагранжевых координат