r° = Jrf, + rl, + rf,. (8.26)

Для геометрической интерпретации пространственного напряжённого состояния в точке используют плоскую диаграмму, приведённую на рис. 32, а. По оси абсцисс отложены главные напряжения ai, сг2, аз и на трёх образовавшихся отрезках, как на диаметрах, построены так называемые круги Мора. В силу (8.23) очевидно, что радиусами этих кругов будут величины т\2, Т23, Т13 (ординаты верхних точек кругов). Если два из трёх главных напряжений совпадают, то три круга Мора вырождаются в один (рис. 32,6), и геометрическая интерпретация по-прежнему будет справедлива. Если же все главные напряжения равны друг другу.

Подставим в (8.16) компоненты N\ =0, N2 = Щ = 1/\/2 и получим: (т()) = (сг2 - сгз)/4, или, в силу предположения (8.21): т() = ((J2 - сгз)/2 = Т23. Аналогично найдём касательные напряжения на площадках из двух других пар:

1 -2 СГ2-СГ3 СГ\ -СГЗ /п пол

П2 = -2- 23 = -2- -2-*

Предоставляем читателю самостоятельно показать, что если все главные напряжения различны, то на указанных парах биссекторных площадок касательные напряжения действительно достигают своих локальных экстремальных, а именно максимальных, значений Т12, Т23, Т13, определяемых (8.23). Они носят название максимальных касательных напряжений. В силу предположения (8.21) наибольшим среди них (глобальным максимумом величины т()) является величина

т = -2-= а- 8.24)

Она равна сумме двух других максимальных касательных напряжений:

т = Т12 + Т23. (8.25)

Итак, напряжение rl в данной точке реализуется на площадках, делящих пополам прямые двугранные углы между первой и третьей координатными (главными) площадками. Заметим, что касательное напряжение на октаэдрических площадках т согласно (8.15) и (8.23) выражается через максимальные касательные напряжения следующим образом:

Г23 I--- Т13 = Г23

СГЗ СГ2 СГ1 Г12 СГЗ СГ1=СГ2 СГ1=СГ2=СГз

а б в

Рис. 32

т. е. тензор напряжений Коши в данной точке шаровой, то круги Мора вырождаются в одну точку на оси абсцисс (рис. 32, в).

Обратимся теперь к плоскости, определяемой первым и вторым главными направлениями тензора напряжений в некоторой точке, т.е. к третьей главной плош,адке. Оси {Ох\) и (0x2) направим вдоль главных направлений. Выберем в данной плоскости некоторый единичный вектор N и ортогональный ему единичный вектор Г (рис. 33):

N = Nikb Ni=cosa, N2 = sma, (8.27)

f = Tikb Ti = -sma, T2 = cosa. (8.28)

Найдём нормальное и касательное напряжения на площадке с нормалью N. Так как оси {Ох\) и (0x2) главные, то

= (71 cos а + (72smа = ----cos2a. (8.29)

Согласно (8.16) и (8.21)

= у af cos а + (j sin а - {а\ cos а + а2 sin а) =

= ((Ji - (J2) sin а cos а = ~~2~ \ sin2a. (8.30)

Заметим, что в силу (8.13) и (8.30)

rW = laiMTi + a2N2T2\ = SW f . (8.31)

Из выражения (8.30) для т следует уже известный из этой лекции факт: максимальное касательное напряжение, равное ((Ji-(j2)/2, или Ti2, реализуется на площадках, для которых sin 2а = ±1, или а = 7г/2 ± 7г/4. Эти площадки являются биссекторными по отношению к главным.

Пусть теперь ось (Охз) остаётся главным направлением тензора напряжений, а в плоскости (0x1X2) (на третьей главной площадке) возьмём систему координат, повёрнутую относительно главных осей на угол а (рис. 33), так что

к[ =N, 4 = Т. (8.32)

В новой (штрихованной) системе координат

N = Njkj, N[ = \, Щ = О, (8.33)

f = T[kj, Г( = 0, Г=1, (8.34)

т.е. площадка с нормалью N, на которой действует вектор S\ является координатной, а именно ортогональной оси {рх\).

Пользуясь формулой (8.4), отражающей физический смысл компонент тензора Р = Pijk[ ®к-, а также соотношениями (8.29)-(8.32), можно записать

Рис. 33

COS 2а,

(8.35) (8.36)

(8.37)

2 2 - -

Обратим теперь соотношения (8.35), (8.36) и (8.38), выразив величины а, а\ и сг2 через компоненты Pj:

3.39)

Р(2 = = g = Г = sin 2а.

Из условия инвариантности

P(l+P2 = l+2

И (8.35) получим выражение для Р22:

Р22 ~

(71 + (72 (71 - (72

COS 2(3.

U2 = {Pn+P22

(P(l-K,)2 + 4P(2

5.40)

Таким образом, если в данной точке в некоторой системе координат известны компоненты Pjj тензора напряжений Коши Р, то по формулам (8.39), (8.40) в этой точке можно вычислить главные напряжения и ориентацию главных площадок по отношению к координатным.