Рис. 34

На рис. 34 изображён круг Мора, соответствующий главным напряжениям а\ и а2. Откладывая произвольный угол 2а, отметим точки М\ и М2, принадлежащие кругу. Тогда компоненты тензора Р в системе координат, повёрнутой относительно главных осей на угол а, геомет-указанные на рисунке абсциссы

рически представляют собой и ординаты точек М\ и М2.

В заключение лекции заметим, что в случае малых деформаций тензоры напряжений Коши Р, Пиолы тг и Кирхгофа К, связанные соотношениями (7.30), (7.32), совпадают. Действительно, в силу (4.20) и (5.10)

F = L + £ + Q, = l-£ + Q, (8.41)

а в силу (5.22)

(8.42)

Поэтому для малых деформаций есть смысл говорить просто о тензоре напряжений а:

Р = 7г = К = а. (8.43)

+ pdwv = 0 (9.1)

движения (6.58)

= V,P + pF (9.2)

ЛЕКЦИЯ 9 ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТЕЙ

Изученные в предыдущих лекциях основные постулаты уже позволяют рассмотреть некоторые простейшие модели механики сплошной среды. Напомним, что одно скалярное уравнение неразрывности (6.10)

dp ~dt

и одно векторное уравнение движения (6.58)

представляют собой незамкнутую систему четырёх уравнений относительно десяти неизвестных функций координат и времени. Этими неизвестными являются: плотность р, три компоненты вектора скорости v и шесть независимых компонент симметричного тензора напряжений Коши Р (согласно (6.54) Р = PEj). Симметрия его обеспечивается равенствами (7.7), являющимися следствиями закона об изменении момента количества движения.

Очевидно, что для замыкания системы (9.1), (9.2) необходимо привлечь ещё шесть соотношений, определяющих конкретную среду. Они называются определяющими соотноигениями и описывают модель сплошной среды.

Рассмотрим сначала модель идеальной жидкости [20, 23, 26,35,46]. Определим её как среду, в которой в любой точке на любой площадке с единичной нормалью N вектор напряжений S() ортогонален этой площадке, т. е.

= ±\S()\N, (9.3)

Коэффициент пропорциональности между векторами S() и N в (9.3) называется давлением p{x,t):

S() = pN, (9.4)

Давление образует скалярное поле в R, так что длина вектора S в идеальной жидкости (равная \р\) зависит лишь от

точки пространства и не зависит от площадки, проведённой через эту точку.

Так как согласно (6.48) S = PW, то из (9.4) имеем

= -рЁ\ (9.5)

Умножим (9.5) тензорно на Д и воспользуемся (6.55). Получим

р= рЁг& = -р1, (9.6)

Т. е. тензор напряжений Коши в каждой точке идеальной жидкости является шаровым и характеризуется одной скалярной функцией - давлением.

Из (9.5) также следует, что

ViP = -ViipE) = -p\i& = - grad p. (9.7)

Подставляя VP* из (9.7) в (9.2), получим уравнения Эйлера движения идеальной жидкости. В векторном виде они выглядят следующим образом:

p- = -gradp + pF, (9.8)

ИЛИ, после деления иг р ф 0:

= Agradp + F. (9.9)

Однако система четырёх уравнений (9.1), (9.9) по-прежнему остаётся незамкнутой. Действительно, неизвестными являются пять величин: плотность р, три компоненты вектора скорости v и давление р.

Если положить, что идеальная жидкость несжимаема и однородна, то плотность является постоянной р = pq и её можно исключить из числа неизвестных. Тогда число неизвестных величин (три компоненты вектора v и давление р) совпадает с числом уравнений, в число которых входят три уравнения движения Эйлера (9.9) и условие несжимаемости (6.14)

div=0. (9.10)

Если идеальная несжимаемая среда неоднородна, то плотность p{x,t) становится пятой неизвестной функцией. Система четырёх уравнений (9.9), (9.10) замыкается пятым уравнением (6.13), которое можно записать в виде

+ V- gradp = 0. (9.11)