р{р)

(9.15)

Рр, р. (9.16)

Р dp

Пусть массовые силы F{x, t) обладают скалярным потенциалом U{x,t):

F = -gmAU. (9.17)

Тогда, подставляя (9.14) и (9.17) в уравнения движения (9.9), получим

- + grad{V + U) = 0. (9.18)

Возникает вопрос: можно ли ускорение w = dv/dt, входящее в (9.18), как и остальные слагаемые, представить в виде градиента некоторой скалярной функции? Покажем, что вектор ускорения w{f,t) представим в форме Громеки-Лэмба:

dv 1

W = + - grad 11 + 2UJXV, (9.19)

где - вектор вихря, определяемый в (2.29).

О Не путать функцию давления V с давлением р!

Идеальная жидкость называется баротропной, если давление является известной функцией от плотности или наоборот:

Р = р{р) или р = р{р). (9.12)

Функция (9.12) представляет собой определяющее соотношение идеальной жидкости, замыкающее систему (9.1), (9.9). При р{р) = ро мы имеем дело с несжимаемой средой.

Для баротропной жидкости удобно ввести функцию давления V{x,t) такую, что О

dV=j. (9.13)

Из определения (9.13) следует, что

gradP = - grad р. (9.14)

Интегрируя (9.13) при заданном определяющем соотношении (9.12), функцию давления можно записать в одном из двух видов:

либо

Будем считать, что в актуальной конфигурации задана прямоугольная декартова система координат с единичными ортами ki так, что V = Viki, й = Uiki. Преобразуем fc-ю компоненту вектора, являющегося суммой двух последних слагаемых в (9.19):

= ii,/c + ijkmniVn,mVj = ViVi,k + {jmkn jnSkm)Vn,mVj =

= ЩЩ,к + Vk,mVm - Vn,kVn = Щ,тУт, (9.20)

И заметим, что она совпадает с к-й компонентой конвективной производной по времени вектора скорости. Сумма частной и конвективной производных согласно (1.23) есть полная производная по времени от скорости, или ускорение w.

Воспользуемся доказанным результатом и подставим ускорение в форме Громеки-Лэмба в (9.18). Получим

+ grad i- + V + u] =2vxou. (9.21)

Рассмотрим два частных случая интегрируемости уравнения (9.21).

1. Пусть движение идеальной баротропной жидкости установившееся, т.е. выполняется условие (2.11). Спроектируем в каждой точке среды векторное уравнение (9.21) на линию тока (или на траекторию, совпадающую в силу стационарности с линией тока), которая проходит через эту точку. Так как по определению линии тока вектор v направлен в каждой точке и в каждый момент времени по касательной к этой линии, проекция правой части (9.21) равна нулю. В результате будем иметь

grad f + V + u)=0, (9.22)

L + V + U = С, (9.23)

где С - постоянная величина вдоль каждой линии тока. Она не является константой для всей области течения.

Первый интеграл (9.23) уравнений движения (9.21) называется интегралом Бернулли. Он справедлив не только для линии тока, но и для каждой вихревой линии, т.е. линии, касательная к которой параллельна вектору и. В этом случае С постоянна вдоль каждой вихревой линии.

2. Возвратимся к уравнениям движения (9.21) и предположим, что течение идеальной баротропной жидкости потенциально:

V = grad (/9. (9.24)

Тогда 2й = rot grad (/9 = 0. Подставим (9.24) в (9.21) и получим grad( + gradH + + t/) =0, (9.25)

+ grad¥p2 + P + [/ = /(t). (9.26)

Первый интеграл (9.26) уравнений движения (9.21) называется интегралом Коши-Лагранжа. Функция f{t) определена во всей области течения V.

Для нахождения константы С в интеграле Бернулли (9.23) и функции f{t) в интеграле Коши-Лагранжа (9.26) необходимо использовать начальные и граничные условия. Начальные условия задаются в момент времени t = О во всех точках V:

t = 0: v = v\x). (9.27)

Граничные условия задаются в любой момент времени, но лишь на границе S = U области V. В случае идеальной жидкости возможно задание либо нормальной скорости v = v - N:

хеу: v =vo{x,t), (9.28)

либо давления р:

: p = po{x,t) (9.29)

Граничные условия (9.28) называются кинематическими, а условия (9.29) - статическими. В (9.28), естественно, предполагается, что в точке х еТу существует единичная нормаль N. В особых же точках, таких как рёбра, угловые точки, точки возврата, граничные условия имеют другой вид, на котором сейчас останавливаться не будем.

Приведём далее примеры задач механики идеальной жидкости, допускающих решение на основе первых интегралов уравнений движения, в частности интеграла Бернулли. Во всех задачах будем полагать, что жидкость однородна и несжимаема, поэтому, как следует из (9.15), V = р/ро-