1. Тяжёлая жидкость вытекает из открытого резервуара, показанного на рис. 35, через малое отверстие в боковой стенке. Найти скорость истечения в тот момент, когда расстояние от этого отверстия до верхней границы жидкости равно h.

Направим ось хз = z вверх и выберем начало координат на уровне отверстия, как указано на рис. 35. Единственной

массовой силой является сила тяжести F = -3, обладающая потенциалом

и = gz. (9.30)

Выберем линию тока 7, начинающуюся в точке А на верхней поверхности жидкости и выходящую через отверстие в точке В. Будем полагать, что резервуар достаточно большой и скорости точек верхней поверхности равны нулю (действительно, они много меньше искомой скорости истечения), поэтому движение за небольшой промежуток времени можно считать установившимся. Следовательно, вдоль линии 7 справедлив интеграл Бернулли (9.23). Запишем его для двух точек, А и В, принадлежащих 7:

Ро

Ро

(9.3i;

Так как = h, z = О, \v\ = О, из (9.31) получим

= j2gh +

Ра -Ре

(9.32)

Выражение (9.32) и является ответом в данной задаче. Если внешние давления в точках Аи В одинаковы и равны, например, атмосферному, то

\v\ = (9.33)

Любопытно, что формула (9.33) в точности совпадает с известной из классической механики формулой Торричелли для скорости материальной точки, брошенной с высоты h из состояния покоя.

Можно поставить и иную задачу: каким должно быть минимальное давление вокруг резервуара, для того чтобы тяжёлая жидкость не вытекала из него? Для ответа надо вое-

пользоваться решением (9.32) и положить в нём 171 = 0. Тогда

= Ра + (9-34)

Распределение давления (9.34) характерно для гидростатики идеальной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести.

2. Определить скорость на свободной поверхности идеальной жидкости справа от вертикальной стенки (рис. 36).

Направим, как и в предыдущей задаче, ось хз = z вверх, а начало координат выберем в точке О. Пусть глубина водоёма до стенки мало отличается от z, а после стенки равна = = - h. Течение реки будем считать установившимся, а в качестве линии тока выберем линию 7, принадлежащую свободной поверхности как до стенки, так и после неё. Потенциал массовой силы (силы тяжести) имеет вид (9.30). Записывая для двух точек А и В, принадлежащих 7, интеграл Бернулли согласно (9.31) и учитывая, что р =

= Рв =Ратм, получим

= Jvl+2gh. (9.35)

Если на свободной поверхности водоёма достаточно далеко от стенки жидкость покоилась {v 0), то из (9.35) вновь получим формулу (9.33), аналогичную формуле Торричелли. Выражение для скорости (9.35) используется при расчёте и проектировании водосливов, плотин, запруд и других гидроинженерных сооружений.

Интеграл Бернулли (9.23) также находит применение в задачах, связанных с измерением скорости потока жидкости. Простейшим измерительным прибором такого рода служит трубка Пито-Прандтля (рис. 37), представляющая собой узкое цилиндрическое тело с отверстиями, через которые по нескольким

Рис. 36

- Ро

каналам (коленам трубки) может течь жидкость. Трубка устанавливается вдоль стационарного горизонтального потока идеальной жидкости. Одно колено трубки выходит в её переднюю (лобовую) часть навстречу набегающему потоку. Конец А этого колена называется точкой торможения, в ней скорость потока тормозится до нуля, а давление равно давлению торможения, или заторможенному давлению р*. Другое колено выходит из трубки в точке В, расположенной достаточно далеко от А, так что и мало отличаются от скорости Voo и давления ро набегающего потока.

Выберем линию тока, проходящую через точки А и В, и запишем для неё интеграл Бернулли в виде (9.31). Так как

будем иметь

.оо = .Р=.2. (9.36)

У Ро Ро

Перепад давлений Ар пропорционален разности высот Ah уровней жидкости в двух коленах трубки Пито-Прандтля. Коэффи-цииент этой пропорциональности равен рд, где р = аро - плотность жидкости, находящейся в трубке (она может отличаться от жидкости в потоке). Поэтому

оо = 2agAh. (9.37)

Рассмотрим теперь другую модель, а именно пористую среду [11]. В такой среде присутствуют две составляющие: недефор-мируемый каркас и поры, заполненные идеальной жидкостью, причём жидкость может фильтроваться сквозь стенки каркаса. В связи с этим модель пористой среды называется также фильтрационной моделью. Полагается, что в некотором бесконечно малом объёме dV, окружающем точку х тела в момент t, объём пор равен dV\, так что известная величина

х=, 0<x(f,t)<l, (9.38)

зависит от координат и времени. В предельных случаях х = = О и X = 1 имеем, очевидно, сплошной каркас без пор либо идеальную жидкость.

Общая масса т жидкости (6.1),

pdV, =

Vi V

xpdV, (9.39)