Frp = -, (9.43)

+ div [K{pF - gradр)] = 0. (9.46)

не меняется со временем, поэтому из закона сохранения массы (6.8) и леммы о дифференцировании по времени интеграла по жидкому объёму (6.4) следует, что

+ div (хН = 0. (9.40)

Назовём величину

U=v (9.41)

скоростью фильтрации в отличие от физической скорости v. Тогда соотношение (9.40) можно переписать следующим образом:

+ div(H = 0. (9.42)

Скорость фильтрации пропорциональна силе трения жидкости о стенки каркаса {закон Дарси):

где К - коэффициент проникания.

Аналогично уравнениям движения Эйлера (9.9) запишем векторные уравнения, описывающие фильтрацию. В них уже фигурирует не физическая скорость, а скорость фильтрации:

= lgradp + F + F,p. (9.44)

Так как фильтрация осуществляется очень медленно, инерционной левой частью в (9.44) обычно пренебрегают. Тогда с учётом (9.43) соотношение (9.44) приобретает вид

й= k(f --gradp] (9.45)

\ р J

и носит название обобщённого закона Дарси.

Подставим теперь обобщённый закон Дарси в (9.42) и получим

Если жидкость, движущаяся в порах, баротропна, то уравнение (9.46) (с учётом (9.12)) полностью описывает фильтрационную модель.

Пусть теперь тензор напряжений Коши (6.55) в жидкости не является шаровым, как в (9.6), а имеет вид

Р = -р/ + г, (9.47)

т = njE 0 = тЁг 0 Ej (9.48)

есть тензор вязких напряжений, представляющий собой линейную изотропную тензорную функцию от скоростей деформации и (4.62):

т = Ai(trD)G + 2/iiA (9.49)

DгJ = \iУ,\j + vj\i), trD = div, v = v,E\ (9.50)

Соотношения (9.49) являются определяющими соотношениями среды, называемой ньютоновской вязкой жидкостью или просто вязкой жидкостью [7, 20, 23, 26, 53]. Коэффициенты Ai и р\, являющиеся материальными константами определяющих соотношений (9.49), характеризуют жидкость и называются соответственно объёмной и сдвиговой вязкостью. Подставляя (9.48) и (9.49) в (9.47), выпишем компоненты тензора Р:

Ргз = {-p + MirD) Gj + 2/iiA,. (9.51)

Для вывода уравнений движения такой среды подставим в общие уравнения (9.2) векторы напряжения Р = PEj, вычисленные на основании (9.51). Получим уравнения движения сжимаемой вязкой жидкости: dv

р-- = - gradp + (Ai + р\) grad div i7 + p\Av + pF. (9.52) at

Если же среда несжимаема, т.е. divi7=0, то из (9.52) следуют уравнения движения Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости:

р = - gradp + p\Av + pF, (9.53)

(JjL

ИЛИ

= - gradp + riAv + F. (9.54)

dt p

В случае несжимаемости нет смысла говорить об объёмной вязкости, поэтому pi называют просто коэффициентом вязкости или динамической вязкостью, тогда как rj = p\/p носит название кинематической вязкости. Смысл этих названий станет ясным из лекции, посвященной размерностям физических величин.

Итак, замкнутая система уравнений вязкой несжимаемой жидкости представляет собой векторное уравнение (9.53) или (9.54) и условие несжимаемости (9.10). При этом разыскиваются четыре величины: компоненты вектора скорости v и давление р.

Если в отличие от (9.49) тензор-функция, связывающая т и D, нелинейна, то жидкость называется нелинейно-вязкой или неньютоновской [8].

Обратимся теперь к начальным и граничным условиям, необходимым для постановки начально-краевой задачи движения вязкой несжимаемой жидкости. Поскольку уравнения Навье-Стокса (9.54), как и уравнения Эйлера (9.9), имеют первый порядок по времени, начальные условия (9.27) остаются в силе. По координатам уравнения (9.54) имеют второй порядок (оператор Лапласа), поэтому граничных условий (9.28), (9.29) уже недостаточно.

Кинематические условия на границе вязкой жидкости имеют следующий вид:

f G S: г) = щ{хЛ). (9.55)

Чаще всего по границе вязкая жидкость соприкасается с твёрдым телом ( стенкой ), движущимся со скоростью щ{х,1), поэтому условия (9.55) называют также условиями прилипания.

Статические граничные условия записываются следующим образом:

х = So(f,t). (9.56)

Если вектор So{x,t) нулевой, то называется свободной поверхностью. Если = S, то говорят о первой краевой задаче, если = 11, то о второй краевой задаче, если же Ту 0 и 7 0 - то о смеиганной краевой задаче.