ЛЕКЦИЯ 10 ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ

Продолжим начатое в прошлой лекции изучение моделей сплошных сред и перейдём от жидкостей к твёрдым деформируемым телам. В механике сплошной среды часто твёрдые тела отличают от жидкости не по агрегатному состоянию вещества. Обычно, если используется лагранжев подход и кинематика деформирования описывается вектором перемещения и тензором деформаций, то говорят о твёрдом теле [47]. Если же используется эйлеров подход и кинематика характеризуется вектором скорости и тензором скоростей деформаций, то речь идёт о жидкости или газе. При этом, как правило, несжимаемая среда называется жидкостью, а сжимаемая - газом.

Будем изучать малые деформации и введём прямоугольную декартову систему координат. Частную производную по координате будем обозначать запятой в индексе. Тогда уравнения движения (6.58) в компонентах записываются следующим образом:

dvj dt

р-17=гз,з+рРг, (10.1)

ИЛИ, с учётом (1.18),

P=гJ,J+pFг (10.2)

Три уравнения движения (10.2) и шесть соотношений Коши (5.5) содержат пятнадцать неизвестных величин: по шесть компонент симметричных тензоров напряжений (Jij (8.43) и малых деформаций sij (5.4), а также и три компоненты вектора перемещений щ. Напомним, что плотность р не входит в число неизвестных, а определяется из уравнения неразрывности (6.17) в лагранжевых координатах после нахождения деформаций и дилатации в. Система (10.2), (5.5) незамкнута, и для её замыкания сплошную среду необходимо конкретизировать, т. е. задать определяющие соотношения среды. В предыдущей лекции уже встречались подобные соотношения для идеальной баротропной жидкости (9.12) и для ньютоновской вязкой жидкости (9.49).

f деы deik fдeгдF \

тп J

где A = Aijkiki (g) kj ®kk®ki - единичный тензор четвёртого ранга с компонентами

ioki = \{kkS,i + 5aS,k). (10.6)

Легко проверить, что

= + (10.7)

даы даы

для любого тензора второго ранга а. Из определения (10.6) кроме того следует, что для любого симметричного по первым и последним двум индексам тензора четвёртого ранга А справедливы

Рассмотрим линейное упругое тело [1, 22, 28, 33, 43, 54, 57, 58], т.е. среду, в которой тензоры айв связаны линейной, вообще говоря, анизотропной тензор-функцией. Общий вид такой функции следующий:

(ij = CijkiSkh или а = С\е. (10.3)

Шесть независимых соотношений (10.3) носят название закона Гука для анизотропного упругого тела [25], а тензор четвёртого ранга С = Cijkiki 0 kj ®kk®ki называется тензором модулей упругости. В силу симметрии aij = gji он, очевидно, симметричен по первым двум индексам, а в силу симметрии sij = Sji - по последним двум.

Пусть тензор-функция (10.3) является потенциальной, т.е. существует скалярный потенциал деформаций W{e),

W =-Ci,kiekieij, (10.4)

такой что

\ { dW dW\ dW

о-шп=о -+ Ъ- или 2 = --. (10.5)

2 \Oemn ОЕптJ OS

Подставим выражение (10.4) в (10.5. Тогда имеем

1 / деы , deij \ (Jmn = Cijkl -тг-£ij + -гГ-£kl =

соотношения

AijkiAkimn = AijkiAkimn = Aijmn ИЛИ A : A = A : A = A,

(10.8)

Т.е. тензор A в самом деле является единичным.

Из (10.4) следует, что тензор модулей упругости перестановочен ещё и по парам индексов. Эта перестановочность эквивалентна равенству смешанных производных от W по Sij и е-

Cijki = Cjiki = Cijik = Ckiij (10.10)

Подсчитаем, сколько независимых компонент в имеет тензор модулей упругости, обладающий симметрией (10.10). В общем случае в М тензор четвёртого ранга имеет 3 = 81 независимую компоненту. Поэтому для наглядности на плоскости набор этих компонент можно формально представить в виде матрицы 9x9:

(С\\\\ С\\22 Оцзз С\\\2 С\\2Ъ Оцз! С\\2\ С1132 Ciii3\ О2211 О2222 О223З О2212 О222З 2231 О2221 2232 2213 C33II 3322 Сзззз С3312 С3323 Сззз! С3321 С3332 С3313 С\2П С\222 С\2ЪЪ С\2\2 С\22Ъ С\2Ъ\ С\22\ С\2Ъ2 С\2\Ъ 2311 2322 2333 С2312 2323 2331 C2321 2332 2313 C3111 С3122 3133 С3112 С3123 3131 С3121 Сз132 Сзпз C2111 С2122 2133 2112 2123 2131 2121 2132 2113 C32II 3222 3233 3212 3223 3231 3221 3232 3213 \Ci3ii Ci322 1333 С1312 С1323 1331 С1321 С1332 С1313/

В силу ТОГО ЧТО Cijki = Cjikh последние три строки матрицы совпадают соответственно с её четвёртой, пятой и шестой строками, а в силу того что Сф1 = Cijik, последние три столбца матрицы совпадают с её четвёртым, пятым и шестым столбцами. Следовательно, независимыми будут элементы, составляющие лишь верхний левый минор 6x6. Наконец, условие Сф1 = CkUj означает, что этот минор симметричен относительно главной диагонали. Симметричная же матрица шестого порядка имеет 6 (6 + 1)/2 = 21 независимую компоненту.

Рассуждая аналогично, нетрудно установить, что в тензор модулей упругости С имеет шесть независимых компонент.