Обратный закон Гука, т. е. тензор-функция, обратная к (10.3), записывается в виде

eij = Jijkl(kh или e = J:a, (10.12)

где J = Jijkih 0 kj ®kk®ki - тензор упругих податливос-тей. Тензоры четвёртого ранга С и J взаимообратны, т.е.

CijklJklmn = JijklCklmn = ijmn, ИЛИ С : J = J : С = А.

(10.13)

Аналогично (10.4) введём скалярный потенциал напряжений w{a):

= Jijki(ki(ij, (10.14)

такой что

\ [ dw dw \ dw /1,4 1 гл

втгг = Ъ- + Ъ- И £=- (10.15)

2 \oamn даптJ да

Тогда типы симметрии тензоров J и С совпадают:

Jijkl = Jjikl = j7/c = Jklij (10.16)

Отметим, что объекты С и J являются материальными функциями (в данном случае материальными тензор-константами) определяющих соотношений (10.3), (10.12).

Если упругая среда изотропна, то компоненты Cijki пред-ставимы в виде линейной комбинации всевозможных свёрток символов Кронекера [36]:

Cijki = + Pikji + piijk (10.17)

С учётом симметрии (10.10) необходимо в (10.17) положить р = = р, так что компоненты тензора модулей упругости для изотропной среды имеют вид

Cijki = A5ij4/ + Kikji + iijk) = ><ijki + pAijki. (10.18)

Подставим выражения (10.18) в (10.3) и получим закон Гука для изотропного материала:

= XвдгJ + 2peгJ, (10.19)

где в - дилатация (5.23). Коэффициенты X и р, называемые постоянными Ламе, представляют собой независимые материальные константы определяющих соотношений (10.19) изотропного упругого тела.

Разобьём тензоры деформаций и напряжений на шаровые части и девиаторы (см. (5.25)):

eij = \e8ij + eij, (Jij = aSij + Sij,

(10.20) в = ekk, cr = -akk, ekk = 0, Skk = 0.

Умножая обе части (10.19) на Sij, получим связь шаровых частей:

а= {Х + ]в = Кв, (10.21)

где постоянная К - модуль объёмного растяжения-сжатия. Умножая далее обе части равенства (10.21) на Sij и вычитая из (10.19), получим связь девиаторов зяе:

s,j = 2pe,j. (10.22)

Постоянную Ламе р называют также модулем сдвига.

Подставляя в (10.20) выражения в из (10.21) и Cij из (10.22), получим

а . 1 1

/ ЗА

в,- = 3 5,- + - = - --5,- + . (10.23)

Введём вместо А и /i так называемые технические постоянные: Е - модуль Юнга и и - коэффициент Пуассона, из соотношений

°(. + .К1-2.)- ЖГУ ( 2

В конце этой лекции будет выявлен механический смысл упругих постоянных Е и и. Пока же отметим, что для встречающихся в природе изотропных упругих сред коэффициент Пуассона меняется в интервале от О до 1/2.

Подставим (10.24) в (10.23) и после преобразований придём к обратному закону Гука для изотропного материала:

ег = [SuaSj + (1 + iy)aj]. (10.25)

Заметим, что из пяти уже введённых упругих постоянных - А, р. К, Е, 1у - в качестве независимых можно выбрать любые две. Выражения для трёх остальных следуют из формул (10.21) и (10.24).

Найдём вид скалярных потенциалов W{£) (10.4) и w{a) (10.14) для изотропной среды. Пользуясь соотношениями (10.19)

и (10.25), запишем

= -Ке + рег,ец, (10.26)

1 9z

2Ё [-Зг- + (1 + )(Угз] = - 2 +

,1+ 3(l-2zy) 2 1+ ПЛОТА

Из (10.26) следует, что условия положительной определённости квадратичной формы W{e) следующие:

К>0, /i>0, (10.28)

а из (10.27) видно, что квадратичная форма w{a) положительно определена в каждом из двух следующих случаев:

Е>0, -\<v<. (10.29)

либо . X

Е<0, (-ос;-1)и +ocj . (10.30)

С учётом ранее сделанного замечания о значениях коэффициента Пуассона для реальных материалов (0<z<l/2) можно утверждать, что из систем (10.29), (10.30) физически реализуется только первая.

Так как /i = £;/[2(1 + z)], К = £;/[3(1 - 2zy)], то условия (10.28) совпадают с объединением условий (10.29), (10.30). Это естественно, поскольку, как следует из (10.3), (10.4) и (10.12), (10.14), W[e) = w{a) для любого напряжённо-деформированного состояния в упругом теле.

Итак, шесть определяющих соотношений линейного упругого материала - (10.3) либо (10.12), а в случае изотропии - (10.19) либо (10.25), замыкают систему (10.2), (5.5) пятнадцати уравнений в области V.

О начальных и граничных условиях уже говорилось в предыдущей лекции. В отличие от (9.27), теперь надо задавать и перемещения, и скорости частиц в начальный момент времени:

t = 0: й=й\х), = v\x). (10.31)

Это вызвано тем, что уравнения (10.2) имеют второй порядок по времени. Граничные же условия на кинематической и