статической частях поверхности s = dV записываются по аналогии с (9.55), (9.56):

xgs: u=Uo{x,t). (10.32)

f gs, : = so(f,t). (10.33)

В компонентах векторное условие (10.33) имеет вид

х : aгJNJ = Soг{xЛ) (10.34)

Как и ранее, если = 5], то задача называется первой краевой, если = s, то второй краевой, если Ту 0 и 7 0 - то смешанной.

Подставим соотношения Коши (5.5) в (10.19):

aij = Xuk,kij + p{uij + Uji), (10.35)

a затем (10.35) - в уравнения движения (10.2). В результате получим уравнения Ламе движения изотропного упругого тела [5]:

Р = (А + p)uj,j + рАщ + pF, (10.36)

Их можно написать и в векторной форме

р-д = {Х + p)graddwU+ рАй+ pF. (10.37)

Для записи статических граничных условий (10.34) в терминах перемещений подставим в них выражения (10.35):

х gs, : Xuk,kN, + p( + Uj,Nj =%(f,t). (10.38)

Таким образом, начально-краевая задача теории упругости в перемещениях состоит в решении трёх уравнений Ламе (10.36) при выполнении начальных условий (10.31) и граничных условий (10.32), (10.38).

Если изучается не движение, а состояние покоя тела в поле внешних сил, т.е. {ди/dt){x,t) = О, то вместо уравнений движения записываются уравнения равновесия

рРг = 0, (10.39)

а вместо динамических уравнений Ламе (10.36) - статические уравнения

(А + p)uj,ji + рАщ + pFi = 0. (10.40)

Начальных условий (10.31) уже задавать не требуется. Соответствующие краевые задачи (10.39), (5.5), (10.19), (10.32), (10.34) и (10.40), (10.32), (10.38) называются статическими задачами теории упругости.

Если массовые и поверхностные силы зависят от времени столь незначительно, что силами инерции (правыми частями уравнений (10.2) и (10.36)) можно пренебречь, то говорят о квазистатике и квазистатических задачах теории упругости.

Обратимся теперь к интегральному равенству (7.20), выражающему теорему живых сил, или теорему об энергии в МСС. Для изотропной упругой среды изменение работы внутренних сил (7.19) имеет вид

Г dW

5Л = -

GijEij dV = -

-Eij dV =

dWdV = -d

WdV = -d (10.41)

и является полным дифференциалом. Назовём величину

(10.42)

работой внутренних сил, а интегральный оператор (р - потенциальной энергией деформаций. Для изотропного тела

(10.43)

Пусть массовые и поверхностные силы не зависят от перемещений. Тогда изменение работы внешних сил (7.21) также есть полный дифференциал и согласно (7.17), (7.18)

pF udV +

(10.44)

Таким образом, каждое слагаемое в (7.20) является полным дифференциалом, поэтому можно записать первый интеграл теоремы об энергии:

/С + (-Л() =£. (10.45)

Интегральный оператор С называется полной энергией упругого тела или лагранжианом. Он представляет собой константу

интегрирования соотношения (7.20) и, следовательно, является постоянной по времени величиной.

Пользуясь этим фактом, можно доказать теорему единственности решения динамической задачи теории упругости. Действительно, предположим, что существует два решения и и и динамической задачи в перемещениях. Для разности этих решений и = и - и имеем однородную задачу, а именно:

однородные уравнения Ламе (F = 0)

однородные граничные условия {щ = О, Sq = 0) X еТи и = О,

f dui

f G : Xuk,kNi + p

;i0.47)

И однородные начальные условия {и = О, = 0)

t = 0: {Г=0, -7 = 0. (10.48)

Для рассматриваемой системы Л = О и из (10.45) и постоянства лагранжиана следует, что

/C(t) + (t) = /C(0) + (0). (10.49)

Но кинетическая энергия /С (7.16), зависящая лишь от скоростей, в силу (10.48) равна нулю при t = О, а при t > О неотрицательна. Потенциальная энергия (р (10.43), зависящая от деформаций, также в силу (10.48) равна нулю при t = О, а при t > О неотрицательна. Правая часть в (10.49) равна нулю, а следовательно, и левая часть этого равенства в любой момент t равна нулю, т. е. IC{t) = (p{t) = 0. Если упругие постоянные таковы, что квадратичная форма W{e) положительно определена, то все скорости и деформации в теле равны нулю, или

в случае второй краевой задачи равенства (10.50) и заключают в себе теорему единственности. В случае первой либо смешанной краевой задачи из (10.50) дополнительно следует, что

= и.