Рассмотрим одну из простей- ж jy (бок)

ших краевых задач статической iV ]

теории упругости: растяжение- < - g >

сжатие стержня (рис. 38). Пусть ~

к торцам однородного стержня Рис. 38

с постоянным по длине круговым сечением площади S приложена продольная сила X = Хк\ на и -X = -Xki на S). Внешние нормали TV) и TV) к обоим торцам и нормаль N к свободной боковой поверхности имеют компоненты Л = -Л} = Sn, Л[° = О, поэтому граничные условия (10.34) записываются следующим образом:

(10.51)

х gS(°): а,2Л2 + .зЛз = 0.

Поскольку на всей поверхности стержня задаётся вектор напряжений, данная задача является второй краевой задачей.

Решением уравнений равновесия (10.39) при отсутствии массовых сил, удовлетворяющим граничным условиям (10.51), будет, очевидно, поле напряжений

ап = - = СГо, СГ22 = СГзз = СГ12 = СГ23 = СГ31 = 0. (10.52)

Этому полю напряжений согласно обратному закону Гука (10.25) соответствует поле деформаций

11 = , 22 = £33 =-- = -Ib £12 = 23 = 31 = О-

(10.53)

Из (10.53) выведем механический смысл технических постоянных Е и и. Модуль Юнга Е есть коэффициент пропорциональности между растягивающим (сжимающим) напряжением ctq и продольной деформацией 611 при одномерном растяжении-сжатии стержня. Коэффициент Пуассона и, взятый со знаком минус , есть коэффициент пропорциональности между поперечной б22 и продольной бц дсформациями при одномерном растяжении-сжатии стержня. Если сила X растягивающая (X > 0), то из физических соображений ясно, что стержень удлиняется, т.е. е\\ > О, а если сжимающая (X < 0), то стержень укорачивается, т.е. 611 < 0. Таким образом, модуль Юнга - величина положительная, неравенства (10.30) для реальных

упругих материалов невыполнимы и условиями положительной определённости W{e) и w{q) будут неравенства (10.29).

Задача теории упругости может быть сформулирована не только в перемещениях, но и в напряжениях. Это бывает более удобно, если на границе тела заданы нагрузки.

Рассмотрим, как и ранее, область У, занимаемую линейно упругим телом, с замкнутой границей И. Трёх уравнений равновесия в V относительно шести компонент тензора напряжений а недостаточно для замыкания системы. Попытаемся её замкнуть. Для этого воспользуемся уравнениями совместности в виде (5.51).

Подставим в уравнения (5.50) выражения обратного закона Гука (10.25) для изотропной среды и после некоторых преобразований придём к шести уравнениям совместности уже в компонентах тензора напряжений:

(1 + iy)A(Jij + Saij = 3uAa6ij + (1 + ){(Jik,kj + jk,ki) (10.54)

Из уравнений равновесия следует, что aik,kj = -pFi,j\ (jk,ki = = -pFji. Таким образом, правую часть (10.54) можно выразить через F:

Аа + у,., = - JdivF - p{F j + F ,). (10.55)

Получены недостающие для замыкания системы уравнения в области. Они носят название уравнения Белыпрами-Мичелла О .

Классическая постановка квазистатической задачи теории упругости в напряжениях [3, 61] состоит в решении трёх уравнений равновесия и шести уравнений Бельтрами-Мичелла (10.55) в области V относительно шести компонент (Jij при удовлетворении трёх граничных условий:

i(s)ll]i = юЩ\т.2 = i (10.56)

Уравнения Бельтрами-Мичелла (10.55) были получены для замыкания трёх уравнений равновесия в области V относительно шести компонент (Jij. Однако самих уравнений (10.55) всего шесть, и, таким образом, в V имеются теперь девять уравнений относительно тех же шести неизвестных функций. На границе области S выполняются всего три условия (10.56).

О Так же как и (10.54), в литературе их часто называют уравнениями совместности в напряжениях.

Б.Е. Победря создал новую постановку задачи в напряжениях, которая лучше приспособлена для использования численных методов [40]. В ней для разыскания шести независимых компонент тензора напряжений решается шесть обобш,ённых уравнений совместности. При этом граничных условий для них оказывается тоже шесть: к трём условиям (10.56) добавляются три уравнения равновесия, перенесённые на границу области И.

Не будем здесь останавливаться на подробном анализе новой постановки задачи теории упругости в напряжениях, её преимуществе при численных решениях, направляя читателя к монографии [44].

Заметим только, что в литературе давно предпринимались попытки сократить число независимых дифференциальных уравнений совместности в напряжениях с шести до трёх. К сожалению, такие попытки предпринимаются и теперь. В [9] приведены контрпримеры, демонстрирующие, что при таком сокращении нарушается корректность постановки задачи в напряжениях.

Итак, для односвязного тела в трёхмерном евклидовом пространстве существует шесть функционально независимых дифференциальных уравнений совместности деформаций (а значит, и напряжений) для существования однозначного поля перемещений. Этот чисто геометрический факт и связан он с тем, что тензор кривизны Римана [48] в трёхмерном пространстве имеет шесть независимых компонент.

До сих пор в этой лекции изучалась линейная упругая среда и использовались для этого малые деформации. Рассмотрим теперь модель нелинейной упругой среды [12,27,34,64], примером которой могут служить резина и некоторые другие эластомеры. Термин геометрическая нелинейность означает, что неравенство (5.1) не имеет места, а значит, деформации связаны с перемещениями не соотношениями Коши (5.5), а общими нелинейными соотношениями (4.10). В МСС существует и другое понятие - физическая нелинейность , означающее, что определяющие соотношения среды, в отличие от (10.3) и (10.12), представляют собой нелинейные тензор-функции или функционалы.

Выберем отсчётную конфигурацию с базисом недеформированного состояния ei и вспомним уравнения движения сплошной среды (7.25) в отсчётной конфигурации. Напряжённое состояние характеризуется тензором напряжений Пиолы тг (7.28). Сплош-