и времени:

щ{х1х1хи) = {xlxUlt) = {xixlxU),

dv du дт ди

или v{rQ,t) = -(оЛ) = -(0,) = (0,) = (0,)-

(1.17)

В (1.17) полные производные по времени совпадают с частными, поскольку лагранжевы координаты от времени не зависят.

Продифференцируем обе части (1.17) по времени ещё раз и определим вектор ускорения w с компонентами Wi в базисе ki, являющимися функциями лагранжевых координат и времени:

f о о о \ [ о о о \ дг ( о о о \ ШДХ!, Х3, tj - (Xj, Х2, Х3, tj - --o-lXj, Х2, Х3, tj,

или (ro,t) = -д[ГоЛ) = -дУоЛ) = -Q[ro,t)

Компоненты тех же самых векторов перемещения, скорости и ускорения в силу (1.9) можно представить и как функции эйлеровых координат Xi и времени:

Ui{xi,xl,xl,t) = Ui{x\,X2,xs,t), (1-19)

i(x?,x,x,t) = i(xi,X2,X3,t); (1.20)

w,{xl xl xl t) = w,{xu X2, X3, t). (1.21)

Векторы w{f,t) и v{f,t) связаны между собой следующими формулами:

dv dv dv dxi dv dv

ИЛИ покомпонентно:

dvi dvi dvidxj dvi dvi

9t 9xj dt dt dxj

В (1.22) и (1.23) видно различие между полной производной и частной производной по времени. Для любой физической величины F(xi, Х2, Хз, t), зависящей от эйлеровых координат и времени, полная производная по времени (её также будем обозначать точкой справа вверху буквы) представима в виде

F(xi,X2, X3,t) = -(xi,X2,X3,t) =

dF dF

= -(xi,X2,X3,t) + -(xi,X2,X3,t)i, (1.24)

т. е. в виде суммы частной производной по времени и конвективной производной по времени.

В зависимости от того, какие координаты - лагранжевы или эйлеровы Xi - выбраны в качестве независимых переменных, различаются два подхода к описанию движения сплоганой среды, связанные с именами Ж.Л. Лагранжа и Л. Эйлера [45]. При лагранжевом подходе целью является нахождение закона движения (1.7), т.е. траекторий всех частиц тела. Лагранжево описание деформирования сплошной среды применяется чаш,е в механике деформируемого твёрдого тела, где удобно следить за движением границы тела.

При эйлеровом подходе целью является нахождение поля вектора скорости v как функции f я t. Эйлерово описание применяется в случаях, когда необходима информация о том, как изменяется со временем та или иная физическая величина в данной точке пространства (ящика Я). Такой подход чаще используется в гидроаэромеханике при исследовании жидкости [10].

Оба подхода эквивалентны. Действительно, зная закон движения (1.7), можно найти согласно (1.17) и (1.18) векторы скорости v{fo,t) и ускорения w{fQ,t) и, воспользовавшись соотношениями (1.9), в силу (1.20), (1.21) получить векторные поля v{f,t) и w{f,t).

Пусть теперь имеются три функции Vi{xi,X2,xs,t)- Выпишем систему дифференциальных уравнений относительно функций Xi{t):

= i(xi,X2,X3,t). (1.25)

Решая систему (1.25) с начальными условиями Xi{0) = {задачу Kouiu), находим закон движения Xi(xp Х2, Xg, t).

Рассмотрим ниже три характерные задачи.

Пусть имеется закон движения сплошной среды:

XI = X? + atx2,

< X2 = x-atx?, (1.26)

. Хз = х,

где а - постоянная. Надо найти поле скоростей Vi{x\,X2,xs,t) в эйлеровом пространстве.

Заметим, что Жг(0) = и, кроме того,

1 atO -at 1 О

о о 1

= 1+а22>0,

;i.27)

т.е. система (1.26) действительно представляет собой закон движения.

Дифференцируя (1.26) частным образом по t, получим

V2 = -ах\ а обращая (1.26), будем иметь

3 = 0,

Хо -

Х2 + atx\

;i.28)

(1.29)

1 + а22

Подставим обратный закон движения (1.29) в (1.28) и выпишем решение задачи:

Ж2 + atx\

v\ = а

V2 = а-

1 + аЧ atx2 - х\

;i.30)

Как следует из (1.28) и (1.30), вид функций гг(хр Х2, Х3, t) и Vi{x\,X2,x,t) существенно различен (хотя эти функции и обозначаются одной буквой).

Пусть теперь дано другое поле скоростей Vi{x\,X2,xs,t) в эйлеровом пространстве:

i=cjX2, V2 = -u;xi, V3 = vo (1-31)

где ш и vq постоянны. Требуется определить закон движения частиц.

Для этого необходимо регаить задачу Kolqh для трёх уравнений

dxi dx2 dxs

С начальными условиями Xi(0) = х. Следствием (1.32) является система

dxr> 9 йхз

= -и Х\

Х2 2

= -CJ Х2 .

= 0-

(1.33)