ная среда называется упругой, если существует скалярный потенциал деформаций W{F), такой что

(10.57)

7Г =

Тогда изменение работы внутренних сил (7.45) записывается следующим образом:

= -dt

dFdVo =

И, следовательно,

dWdVo = -d

WdVo = -d, (10.58)

= -(/?, (10.59)

где интегральный оператор ip, как и в линейном случае (10.42), носит название потенциальной энергии деформации. Упругая среда считается заданной, если известен потенциал W{F).

В качестве меры деформации удобнее выбрать не F, а правый тензор Коши-Грина (4.22), являющийся симметричным. Образуем новый скалярный потенциал W{C):

W{F) = W{C) = W{Iuh,h), (10.60)

где /ь /2, /3 - инварианты (4.50) тензора С.

ЛЕКЦИЯ 11 РАЗМЕРНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Физические величины, рассматриваемые в механике, различаются не только своей геометрической структурой (скаляры, векторы, тензоры второго ранга и т.п.), но и наименованием . Некоторые из них безразмерны (угол в радианах, компоненты тензора деформаций), другие имеют размерность. Например, плотность р можно измерять в г/см , можно в кг/м , а можно и в кГ-с/см. Очевидно, что первые две размерности различаются между собой только величиной: масштабом массы (1кг= 1000г) и масштабом длины (1м= 100см). Третья же размерность отличается от первых двух своей природой. В ней участвуют сила, время и длина.

Таким образом, размерности физических величин связаны с комбинациями единиц измерения - эталонных масштабов, служащих для измерения. Можно выбрать основные масштабы, или основные единицы измерения. Тогда другие единицы будут производными. Если какую-то производную единицу нельзя выразить в системе основных, то система не является полной. В задачах механики в качестве основных единиц часто выбирают единицы измерения М, L, Г соответственно для массы (т), длины (/) и времени {1) О . В абсолютной физической системе (СГС) ими являются грамм, сантиметр и секунда, а в Международной системе (СИ) - килограмм, метр и секунда.

Основные единицы измерения считаются эталонными и выбираются по договорённости. Так, договорились считать 1/31556925,9747 тропического года, рассчитанную для 1900 г., эталоном времени и назвать одной секундой, а 1650763,73 длины волн излучения в вакууме атома криптона-86 - эталоном длины и назвать одним метром. Назовём классом систем единиц измерения совокупность систем единиц измерения, различающихся между собой только величиной, но не природой основных единиц измерения. Так системы

О Хотя при рассмотрении сложных моделей данная система может оказаться неполной.

СГС и СИ принадлежат одному классу, называемому {MLT}. Именно к этим системам относится приведённый пример с двумя первыми размерностями плотности р. В другой известный класс {FLT} входят системы, где основными служат единицы измерения силы, длины и времени. К этому классу относится третья размерность плотности р в примере.

Размерностью [X] физической величины X называется функция, определяющая, во сколько раз изменяется численное значение этой величины X при переходе от одной системы единиц к другой внутри данного класса. Безразмерными же будут величины, численные значения которых одинаковы во всех системах единиц измерения данного класса.

Выберем в классе {MLT} две системы единиц измерения и выразим размерность [X] физической величины X в этих системах. Согласно определению размерности

X = Xi{Mi,Li,Ti) = Х2{М2,Ь2,Т2), (11.1)

где Xi - численное значение величины X в системе с номером i. Пользуясь тем, что все системы внутри данного класса равноправны, можно принять за исходную первую систему. Тогда в силу определения безразмерной величины

Сравнивая (11.1) с (11.2), получим функциональное уравнение

/Ml Li ГЛ if{MuL T,)

M2L2T2) ip{M2,L2,T2)

(11.3)

Для его решения продифференцируем обе части (11.3) по М\ и положим после этого М\=М2 = М, L\=L2 = L, Т\=Т2 = Т:

МдМ {М,Ь,Т)дМ

Обозначая а = {д(р/дМ){1, 1, 1) и интегрируя по М дифференциальное уравнение (11.4), будем иметь

(р{М,1,Т) = Мф{1,Т), (11.5)

где г/j - произвольная функция своих аргументов.