Подставим (11.5) в (11.3) и выпишем функциональное уравнение для : IfT гг..

Т.е. уравнение, отличаюш,ееся от (11.3) только тем, что у функции ф на один аргумент меньше, чем у Lp. Повторяя ещё два раза такие же рассуждения, придём к тому, что Lp является степенной функцией по отношению ко всем своим аргументам:

{М,Ь,Т) = СМЬТ, с = const. (11.7)

Формулой (11.7) представлено утверждение леммы о степенном выражении размерности.

Лемма (о степенном выражении размерности). Размерность любой физической величины представляет собой степенной одночлен.

Это означает, например, что никакая величина не может иметь размерность sin кг или м + с.

Говорят, что величины имеют независимые раз-

мерности, если размерность ни одной из них нельзя представить в виде произведения степеней размерностей остальных величин. Ни одна из размерно независимых величин, например Xi, не может быть безразмерной, иначе можно было бы представить [Xi] = [X ]0, а = 2,...,к.

Докажем далее важную лемму об унарном выборе независимой размерности. Для общности изложения будем действовать в классе систем единиц измерения {Mi .. .М}, п 1.

Лемма (об унарном выборе независимой размерности) [2]. Всегда можно перейти от исходной системы к некоторой другой системе того же класса, так чтобы любая из размерно независимых величин для определённости Xi, увеличила своё значение в произвольное число А раз, а все прочие остались бы неизменными.

Действительно, пусть в исходной системе единиц измерения

[X,] = М[ .....М--, 4 + ... + а2>0, г= l,...,fc,

(11.8)

а в разыскиваемой

[Xi] = (giMiri-...-(g M r ,

[Xi] = (giMir.....(g M r , i = 2,...,k,

причём числа (г = 1,..., fc; j = 1,..., п) известны, а qj надо найти. Сравнивая (11.8), (11.9), получим систему к уравнений относительно п неизвестных. Логарифмируя каждое уравнение, выпишем получившуюся систему к линейных уравнений относительно Ingi,..., \nqn

( aiilngi + ... + ainnqn = -\пА,

21 Ingi + . . . + Q2nlngn = 0, (11.10)

a/,1 Ingi + ... + akn Ingn = 0.

Поскольку в классе {Mi ... М} максимальное число величин с независимыми размерностями равно п, т. е. fc < п, исследуем два случая.

а) к < п. Как следует из (11.8), в любой строке матрицы (aij), в том числе и в первой, имеется хотя бы один ненулевой элемент. Поэтому система (11.10) будет иметь решения всегда, кроме случая, когда первая строка матрицы (aij) есть линейная комбинация остальных fc - 1 её строк:

an = 2021 + ... + Ckki,

.......................... (11.11)

ain = С2а2п + ... + Ckakn-

Потенцируем первое равенство (11.11) по основанию Mi (другими словами, возведём Mi в обе части первого равенства (11.11) ), второе по основанию М2 и так далее, наконец, последнее - по основанию М. После этого перемножим получившиеся п равенств и получим

[Xl] = М ..... М1- = {М ..... М2п)2 . X

X .... {М ..... Mf = [X2f ..... [Xkf\ (11.12)

что противоречит определению независимых размерностей величин Xi. Предположение о несовместности системы (11.10) оказалось неверным.

б) к = п. Система (11.10) не будет иметь решений, если определитель матрицы {aij) равен нулю. Так как в любой её строке, в том числе и в первой, есть хотя бы один ненулевой элемент, остаются справедливыми рассуждения пункта (а).

Таким образом, система (11.10) всегда имеет хотя бы одно решение, и существует набор чисел q\,...,qn, позволяющий перейти от исходной системы единиц измерения к искомой системе. В ней размерности величин Xi будут записываться в виде (11.9). Лемма доказана.

Пусть в некоторой задаче механики определяемая величина Y каким-то образом зависит от к определяющих параметров Xx,...,Xk\

Y = f{Xi,... ,Xjn,Xm+\,... ,Xk),

(11.13)

причём Xi,..., Xjn (0 < m < fc) - величины с независимыми размерностями. Выразим через них размерности величин

<m+l,l .

(11.14)

[Y] = [X,r - ...-[ХгаГ-,

и перейдём следующим образом к безразмерным переменным (критериям) Hi,..., Ик-т П:

Hi =

А J , , , Л

П/c-m =

Х . .

(11.15)

Соотношение (11.13) можно переписать в виде 1

А I . . . Аттг

...,Uk-mX-.---XZr.-Jp(Xu...,Xm,Ul,...,nk-m).

(11.16)

Согласно доказанной ранее лемме об унарном выборе независимой размерности существует функция Ф, зависящая уже не от к, а от fc - m переменных, такая что

П = Ф(П1,...,Щ ).

(11.17)