Подставляя последнее соотношение (11.15) в (11.17), получим с учётом (11.13), что функция / обладает следующим свойством:

!{Хи...,Хк)=Х - ...-Xl

:ii.ii

I . . . . . . yrn j

Это важное свойство носит название обобщённой однородности функции /.

Тем самым доказана П-теорема, являющаяся ключевой в теории размерностей [6,51]. Сформулировать её можно так.

П-теорема теории размерностей. Пусть существует физическая закономерность, выраженная зависимостью некоторой величины от к, вообще говоря, размерных определяющих параметров. Тогда данную зависимость можно представить в виде обобщённой однородности, т. е. в виде зависимости некоторой безразмерной величины от безразмерных определяющих параметров, число которых меньше к на число определяющих параметров с независимыми размерностями.

Формулировка и доказательство настоящей теоремы в литературе приписывается Э. Букингему. Заметим лишь, что его работа [63] по данному вопросу опубликована несколько позже, чем не получившая всемирной известности работа [60] русского математика и инженера А. Федермана.

С помощью П-теоремы можно, не решая начально-краевой задачи и даже не располагая математической моделью явления, только из соображений размерности выводить зависимости одних физических величин от других. Так, выдающийся немецкий учёный Г. Герц, проводя анализ размерностей в задаче о контактном взаимодействии двух упругих тел, получившей в последствии его имя, вывел зависимость размеров площадки контакта, а также максимального давления на ней от силы сдавливания тел. Точное решение контактной задачи блестяще подтвердило результаты Герца.

Приведём ниже три примера, иллюстрирующие применение П-теоремы в самых разных областях механики [2, 51].

Задача о математическом маятнике. На рис. 39 изображён математический маятник, период малых колебаний Г которого является определяемой величиной. Из физического смысла следует, что Г может зависеть от массы т материальной точки.

П-теорема утверждает, что искомая связь (11.19) эквивалентна соотношению П = Ф{и\), или

Т=-Ф{в,), (11.21)

где Ф - некоторая функция всего одного (а не четырёх, как /) аргумента (fc - m = 4 - 3 = 1).

Из формулы (11.21) уже видно, что период малых колебаний не зависит от массы материальной точки. Осталось определить функцию Ф{во). Это достигается с помощью ряда опытов с математическим маятником, в которых необходимо изменять только

длины / невесомого стержня, величины уско- -4

рения д силы тяжести и угла бо начального отклонения. Все эти параметры следует считать определяющими независимо от того, действительно ли зависит от них Г или нет.

По аналогии с соотношением (11.13) запишем

Г = /(т,/,,ад, fc = 4, (11.19) Рис.39

и будем придерживаться описанной ранее схемы. Размерности всех параметров задачи следующие: [т] = М, [/] = L, \д\ = LT , [6>о] = 1; [Г] = Г. Параметров с независимыми размерностями три (т = 3): Xi = m, = /, Хз = д.

Выразим [Г] через [т], [/], \д\ в виде степенной функции:

[Г] = [m] И n5] (11.20)

Приравняем показатели при М, L и Г в (11.20) и придём к неоднородной системе трёх линейных уравнений с тремя неизвестными а\, а2, оз:

0 = 1,

0 = 2 + <3.

1 = -2аз.

Решение этой системы таково: а\ =0, 2 = 1/ <з = ~1/2-

Таким образом, в силу безразмерности начального угла и того, что [Г] = [т][/]/[]~/, критерии Hi и П имеют следующий вид:

Hi =во, П =

ОДИН параметр - начальную амплитуду {в < \) - ia измерять тоже только одну величину - период Г. Длина / и ускорение д для всех таких опытов постоянны, поэтому их надо померить один раз.

Опыты дадут с достаточным приближением: Ф{во) = 27г. Малые колебания математического маятника оказываются изохронными, и такой маятник применим для измерения промежутков времени. Наоборот, если период Г известен, то по формуле д = = 47г Г определяется ускорение свободного падения в данной области пространства. Мысль об изохронности малых колебаний впервые пришла в голову Г. Галилею, когда он наблюдал в Флорентийском кафедральном соборе за качаниями паникадила.

Задача о сильном взрыве. При сильном взрыве заряда происходит почти мгновенное выделение значительной энергии и в направлении от места взрыва начинает распространяться ударная волна. Давление за передней поверхностью (фронтом) волны во много раз больше начального давления воздуха. В зависимости от геометрической формы заряда фронт может принимать различный вид. Если взрыв происходит в одной точке (точечный взрыв), то фронт в каждый момент времени представляет собой сферу радиуса R{t) (рис. 40, а). Если заряд равномерно рассредоточен вдоль прямой (осесимметричный взрыв), то

R{t)

R{t)

Рис. 40

фронтом является цилиндр радиуса R{t) (рис. 40,6). Наконец, если заряд равномерно распределён по плоскости (плоский взрыв), то фронт представляет собой пару плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии 2R{t) (рис. 40, в).

Выберем в качестве определяемой величину R и перечислим определяющие параметры. К ним следует отнести время t,