Выпишем её общее решение:

х\ = С\ coscjt + С2 sincjt, Х2 = Сз cos uot + С4 sin out, (1.34)

Хз = vot + C.

Подставим теперь решение (1.34) в уравнения (1.32) и начальные условия, тем самым связывая константы С\,...,С и х. В результате получим закон движения

х\ = х cos(jjt + Х2 smut,

Х2 = -sin ut + Х2 cos uot, (1.35)

\хз = х1 + Vot,

уравнения (1.35) представляют собой параметрические уравнения спирали. Следовательно, каждая частица, не принадлежавшая в начальный момент оси хз, движется по спирали с постоянной осевой скоростью го и постоянной угловой скоростью и (рис. 5). Ось же хз движется вдоль самой себя со скоростью го.

В третьей задаче имеется поле скоростей vo Vi{x\,X2,X3,t) в эйлеровом пространстве:

v\ = СХ2 - Ьхз , V2 = ахз - СХ\ ,

V3 = Ьх\ - ах2 ,

где а, Ь, с - некоторые постоянные. Необхо- р. 5

димо найти траектории частиц.

Исследуем систему уравнений задачи Коши, возникающей в данном случае:

( dx\

(1.36)

dt dx2

= CX2 - Ьхз,

= ажз - cx\, = bx\ - ax2,

XiiO) = x

(1.37)

Умножим первое уравнение (1.37) на а, второе на Ь, а третье на с и просуммируем:

dxi , ,dx2 , dx а -г- + b -гг + с -г- = 0.

(1.38)

2 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский

Интегрируя (1.38) по времени с учётом начальных условий:

ах\ + Ъх2 + схз = ах + Ъх\ + сх\, (1.39)

придём к выводу, что каждая частица, имевгаая в начальный момент координаты Хр х\, Х3, будет оставаться в плоскости, определяемой (1.39), т.е. траектория каждой частицы является плоской.

Умножим далее первое уравнение (1.37) на xi, второе на Х2, а третье на хз и просуммируем:

+ Х2-

/dx?

1

dt dt

= 0. (1.40)

Интегрируя (1.40) no времени и опять же учитывая начальные условия, будем иметь

xU4 + 4 = i4f + i4f + i4f (1-41)

т. е. каждая частица, имевгаая в начальный момент координаты Хр Х2, Х3, будет оставаться на сфере, определяемой уравнением (1.41). Соотногаения (1.39) и (1.41) называются первыми интегралами системы (1.37).

Итак, траекториями будут окружности (для каждой частицы своя), являющиеся пересечением плоскости (1.39) и сферы (1.41) (рис.6). Исключение составляют лигаь частицы, находившиеся при t = to на прямой /, которая проходит через начало координат и параллельна вектору {а;Ь; с} (эти частицы, очевидно, будут находиться в покое).

Отметим некоторые часто встречающиеся законы движения сплошной среды.

а) Трёхмерное растяжение-сжатие:

xa = (l+a,(t))x, а= 1,2,3, (1.42)

причём а(0) = О и ai(t) 7 -1. Соответствующее поле скоростей v{r, t) имеет вид

Рис. 6

1 +ас

а = 1,2,3.

;i.43)

Если аз() = О, то говорят о двумерном растяжении-сжатии в плоскости (0x1X2). Если аз() = a2{t) = О, то имеет место одномерное растяжение-сжатие вдоль оси (Oxi).

б) Одномерный сдвиг:

XI = X? + a{t)xl, Х2 = х , Хз = х , (1.44)

причём а(0) = 0. Поле v{f, t) имеет вид

v\ = ах2 , г2 = гз = 0. (1-45)

в) Однородное состояние:

х, = Аф)х, (1.46)

причём Aij{G) = 5ij\ detA(t)70; 5ij - символы Кронекера

(1.47)

о, если ij. Для скоростей v{f, t) справедливы соотногаения

v = B,kXk. В = А.А-\ (1.48)

где А~- - обратная к А матрица, т. е. А А~- = А~- А = I; I - единичная матрица, компонентами которой в декартовой системе координат являются 5ij.