Уравнение (14.40) называется уравнением притока тепла. Очевидно, что оно является дифференциальным следствием второго закона термодинамики.

Для большинства тел справедливы определяющие соотношения, связывающие вектор теплового потока q с градиентом температуры grad Г. Эти соотношения называются законом теплопроводности Фурье:

Ч = -Д grad Г, или qi = -AijTj,

Ч4.4Г

где Л - положительно определённый симметричный тензор второго ранга, называемый тензором теплопроводности. Используя (14.41), уравнение притока тепла (14.40) можно записать в форме

(14.42)

Первый и второй законы термодинамики формулируются в виде постулатов МСС.

Закон сохранения энергии (IV постулат МСС). Пусть ft еШ - объём, занимаемый телом в актуальной конфигурации, V - произвольный жидкий объём в Q, а - его граница с единичной нормалью N. Тогда в любой момент времени

[р(е + )У= L{F.v + q)dV+

(14.43)

или, учитывая теорему живых сил (7.20), d

pedV =

{pq + PWij) dV -

;i4.44)

В самом деле, из (7.20), (7.21), (7.16)-(7.18) имеем

dV =

pFvdV+

Подставляя (14.45) в (14.43), получим (14.44).

PWijdV.

;i4.45)

Заменим в (14.43) поверхностный интеграл на объёмный с помощью теоремы Остроградского-Гаусса:

(5W . - gW) dT. = \{Р V-q)N, dT =

(у.Р.+Рд--V,g)dy, (14.46)

и получим в каждой точке объёма V:

de dv

= pq+{VгP + pF) +

+ PW -Vq\ (14.47)

Учитывая уравнения движения сплошной среды (6.58), получим дифференциальное следствие закона сохранения энергии (четвёртого постулата МСС):

de ...

(14.48)

Точно к такому же результату придём, если в (14.44) заменим поверхностный интеграл на объёмный:

ViqdV,

(14.49)

и применим основную лемму.

Постулат о притоке тепла (V постулат МСС). Яг/стб О G - объём, занимаемый телом в актуальной конфигурации, V - произвольный жидкий объём в Q, а Т, - его граница с единичной нормалью N. Тогда в любой момент времени

psdV =

(14.50)

Последний интеграл в правой части (14.50) называется производством энтропии:

qViT\

S* =

dV 0,

(14.51)

и всегда неотрицателен. Покажем это.

Заменяя поверхностный интеграл в (14.50) на объёмный, ? .jv.(i).V.j(Xi-)., 4.52)

И применяя основную лемму, получим дифференциальное следствие пятого постулата МСС - уравнение притока тепла:

;i4.53)

Согласно (13.40) гб* О, а в силу (13.25) Г > 0. Поэтому первое слагаемое подынтегрального выражения в (14.51) неотрицательно. Далее, согласно закону теплопроводности Фурье (14.41) производство энтропии S* записывается в виде

5* =

+ л.

3

dV>0.

;i4.54)

Тензор Л положительно определён, т. е. S* не может принимать отрицательные значения, что и доказывает неравенство (14.51).

Модель МСС, для которой w = О, называется обратимой. Из (14.51) и (14.54) видно, что производство энтропии не равно нулю и для обратимой модели, если только рассматривается необратимый процесс (теплопроводности).

Все пять постулатов МСС допускают запись в едином виде. Пусть а - некоторая скалярная либо векторная величина, т. е. тензор нулевого либо первого ранга. Тогда закон изменения этой величины представим в интегральной форме: d

padV =

pAdV +

CdV,

;i4.55)

где A - некоторый тензор того же ранга, что и а, называемый источником величины а; Б) - поток величины а:

{Ю BN, (14.56)

где тензор В имеет ранг, на единицу больший, чем а; С - некоторый тензор того же ранга, что и а, называемый производством величины а, причём для скалярной величины а

СО. (14.57)

Дифференциальное следствие интегрального соотношения (14.55) имеет вид

da л

р- = рА + ШВ + С. at

;i4.58)