Сравнение уравнений (15.15) и (15.16) для несжимаемой среды даёт связь

;i5.i7)

ds dT

откуда находим выражение плотности энтропии для несжимаемой идеальной жидкости:

5 = е.; 1пГ + const.

;i5.i8)

Для сжимаемой идеальной жидкости (идеального газа) внутренняя энергия £ и её плотность зависят от двух параметров состояния:

E = E{S,V), е = е(5,р). (15.19)

Тогда из сравнения (15.10) и (15.11) получаем

откуда имеем

de = Т ds + dp, де

15.20)

45.21

Vp \9pys

Таким образом, замкнутую систему уравнений для совершенного газа при неизотермических процессах составляют три уравнения движения Эйлера (15.9), два уравнения состояния (15.21), уравнение неразрывности (15.1) и уравнение притока тепла (15.11) (или (15.16)), т.е. всего семь уравнений относительно семи неизвестных: v, р, р, s, Т.

Для совершенного газа известно выражение для энтропии (13.50):

S = Cy\n (tV- + const. (15.22)

Полагая термодинамические параметры для некоторого состояния фиксированными: Sq, Tq, Vq, запишем (15.22) в виде

S-So

= In

или, для плотности энтропии:

S- So

= in

Т То

Т То

Тогда из (15.24) можно выразить температуру:

Т = ТоГ

/s - So

;i5.23)

;i5.24)

;i5.25)

е = СуТо ехр -- + const. (15.26)

\PoJ \ <v J

Определим теперь модель ньютоновской вязкой жидкости как необратимую среду, для которой плотность свободной энергии Гельмгольца / зависит от двух параметров состояния:

f = f{T,p), (15.27)

а тензор напряжений Коши имеет вид (9.47)

pij =-pG + (15.28)

где тензор вязких напряжений г - линейная тензорная функция от тензора скоростей деформаций (9.49):

т = XidivvG + 2pxG&Dki. (15.29)

Из (15.8), (15.27) и (15.28) следует, что для вязкой жидкости изменение плотности работы внутренних сил имеет вид

8а) = -dp-dtTWii=ppd(-\ +Ai(divtT)2 + 2AiitrZ) Р \PJ

(15.30)

где ., .,

D = G&DijDki. (15.31)

Разлагая тензор D на шаровую часть и девиатор D:

1 3

получим

Dij = Dij -Ь divvGij, (15.32)

D = Dl + ]{d[vvf, (15.33)

где Da - интенсивность тензора скоростей деформации

D, = \J\rD\ (15.34)

Из термодинамического тождества (14.34) и определения (14.16) следует

dF + SdT = -5A -W4t, (15.35)

что можно записать и в терминах соответствующих плотностей: pdf + psdT = -5a-w4t. (15.36)

и из (15.12) найти выражение для плотности внутренней энер-

Из (15.36), (15.30) находим

pdf + psdT = dp + dtrWij - w4t. (15.37)

Принимая во внимание определение модели вязкой жидкости (15.25), из (15.37) получим

и выражение для плотности функции рассеивания

* = rW.j = (Ai + {dwvf + 2pxDl (15.39)

Уравнения движения (15.2) для вязкой жидкости выведем, используя определяющие соотношения (15.28), (15.29). Эти уравнения имеют вид (9.52)

р = -gradp+ (Ai +/ii) grad div i7+/iiAi7+pF. (15.40)

Итак, замкнутую систему уравнений вязкой ньютоновской жидкости составляют три уравнения движения (15.40), два уравнения состояния (15.38), уравнение неразрывности (15.1) и уравнение притока тепла (15.5), которое с учётом закона Фурье можно переписать в виде

pT- = pq + K/\T + w\ (15.41)

При этом функция рассеивания w выражается формулой (15.39), а компоненты тензора скоростей деформации Dij связаны с компонентами вектора скорости соотношениями

Поэтому функция рассеивания в уравнении притока тепла (15.41) выражается с помощью (15.32)-(15.34), (15.41) через компоненты вектора скорости v и имеются, как и в идеальной жидкости, семь уравнений относительно тех же семи неизвестных: р, р, s, Т.

Из (15.39) видно, что г* положительно определена, если

Ai + /iiO, /ii>0. (15.43)

DгJ=o(гVJ+JVг) (15.42)