О Постоянная То вводится в связи с недостижимостью абсолютного нуля Т = О (третий закон термодинамики).

)В дальнейшем волну над / во втором слагаемом правой части (15.49) будем опускать.

Если жидкость несжимаема, то уравнения Навье-Стокса (15.40) принимают вид (9.54)

gradp + r]Av + F (15.44)

где ri = fi\/p>0 - коэффициент кинематической вязкости, а функция рассеивания (15.39)

w = 2piDl (15.45)

положительно определена при р\ > 0.

Заметим, что модель вязкой жидкости можно задать не с помощью плотности свободной энергии Гельмгольца (15.27), из которой следуют определяющие соотношения (15.38), а с помощью плотности внутренней энергии (15.19), следствиями которой являются определяющие соотношения (15.21).

Дадим теперь определение линейного упругого тела для неизотермических процессов [19]. Моделью такого тела назовём обратимую среду {w = 0), для которой свободная энергия Гельмгольца - функция температуры и тензора малых деформаций:

F = F{e,T), f = f{e,T). (15.46)

Воспользуемся гипотезой Дюгамеля-Неймана, которая заключается в том, что что аргументом в (15.46) может служить комбинация механической деформации и перепада температуры:

efj = ej-a,j. (15.47)

Здесь aij - компоненты симметричного тензора теплового расигирения, а - перепад температуры, т. е. разность между текущей температурой Г и некоторой постоянной Tq О :

? = Г-Го. (15.48)

Представим тогда функцию / в виде

/ = /о(Г) + /(Л, (15.49)

выделив аддитивную составляющую /о(Г), зависящую лишь от температуры ). Чтобы определяющие соотношения упругой среды были линейными, естественно выбрать свободную энергию

квадратичной функцией температурной деформации

pf = ph{T) + ):Celel, (15.50)

где С - компоненты тензора четвёртого ранга, обладающего симметрией:

которая следует из записи (15.50).

Формула (15.7) записывается в виде

5Л = -

PЧeгJdV =

SadV. (15.52)

Выберем для простоты прямоугольную декартову систему координат. Тогда тензор напряжений Коши Р можно записать как а и из (15.52) и (15.8) будем иметь

ба = -dtGijEij = -GijdEij. (15.53)

Уравнение (15.36) для обратимой упругой среды примет вид

pdf + psdT = GijdEij. (15.54)

Подставляя в (15.54) выражение (15.49), получим

pdT + p{dE,j - a,jdT) +psdT = G,jdE,j. (15.55)

Приравняем в (15.55) коэффициенты при независимых дифференциалах dT и dEij\

Р-раг, = -р8, (15.56)

рШг=<Угг (15.57)

Очевидно, что соотношения (15.56), (15.57) годятся для плотности свободной энергии Гельмгольца, произвольно зависящей от тензора е. Если же воспользоваться представлением (15.50), то из (15.57) получим

cij = Cijki{Eki - аы), (15.58)

а из (15.56), (15.57) будет следовать выражение энтропии для упругого тела:

ps = -P-Qf + oiijGij. (15.59)

Обозначим теперь аналогично /о аддитивные составляющие плотности энтропии и внутренней энергии, зависящие только

ОТ температуры, через и во соответственно. Назовём теплоёмкостью Су предел при постоянной деформации:

AQ\ fdQ\

с. г = lim ,

(15.60)

е У е

Тогда из формулировки первого закона термодинамики

dE = 5Q-5A (15.61)

и из (15.60) следует, что

(15.62)

С,. =

Теплоёмкость при постоянном напряжении обозначим через Ср:

Учитывая, что а также

е = f-Ts,

dl дТ

получим для теплоёмкостей:

sq = -

dfo дТ

Тогда из (15.59) имеем

рСу = рСр - TaijCijkiaki = рСр - TaijPij,

= Cijkioikh

Таким образом, из (15.67) получим

г Т / i9 \

dT = Cpln- = Cpln 1 + -

(15.63)

(15.64) (15.65)

(15.66) (15.67)

(15.68) (15.69)

(15.70)

Здесь использован закон Дюлонга-Пти: теплоёмкость твёрдых тел является постоянной при температурах, превышающих так называемую дебаевскую температуру, которая для большинства кристаллов не более 100°-200° К.