Следовательно, для плотности энтропии упругих тел справедливо выражение

ps = рср\п - + aijGij = рср\п - + (3ij{£ij - aiji}). (15.71)

Если перепад температуры невелик (i? Tq), то из (15.70) и (15.71) следует

ps = рср- + oiijCijkiSki - Cijkiotijakid = рс-- + (ijSij.

(15.72)

Так как уравнение притока тепла (15.41) для анизотропного тела имеет вид

рГ- = рд + Л Г +*, (15.73)

а упругая среда обратима, то, учитывая соотношение

ds рСр dT

= + (а.,.,) , (15.74)

получающееся дифференцированием по времени (15.71), и (15.73), запишем

рср = pq + КзТгз - T{ajaj)\ (15.75)

pCp-Q = pq + ijTij - TaijCijkiieki - kiT), (15.76) дТ

pc,-g = Pq + Л.,Г - Tf3,jslj. (15.77)

Уравнения движения для упругой среды записываются в виде (10.2)

или, с учётом (15.58) и соотношений (5.5),

= Ciuk,ij - PгJTJ + pF,. (15.79)

Итак, замкнутая система уравнений связанной задачи термоупругости состоит из трёх уравнений движения (15.79) и уравнения притока тепла (15.77) (последнее слагаемое в (15.77) можно записать в форме -Tj3ijU\-) относительно четырёх переменных:

Т. В большинстве случаев последним слагаемым в правой части (15.77) пренебрегают из-за малости безразмерных величин Taij. Поэтому, например, для изотропной среды уравнение

P = iьз + pFг, (15.78)

притока тепла выглядит так:

рс = рд + ЛАГ. (15.80)

Видно, что уравнение теплопроводности (15.80) может быть решено отдельно (с учётом соответствующих граничных условий и начальных данных), а после этого, зная температуру, необходимо решить уравнения движения (15.79). В этом случае задача термоупругости носит название несвязанной. Для изотропной среды уравнения (15.79) примут вид

рщ = Хв,г + рАщ - ЗаКТг + рРг, (15.81)

поскольку в изотропном случае

(Зы = cxijCijki = a6ij[\6ij6ki + p{SikSji + 6jkSii)] =

= а{ЗХ6ы + 2р6ы) = 3aK5kb (15.82) Отметим, что в задачах термоупругости надо различать адиабатические модули упругости и изотермические. В соотношениях (15.58) фигурируют изотермические модули Сфь ибо они определяются экспериментально при постоянной температуре. В этом случае соотношения (15.50) записываются в виде

pf = ph{T) + W, (15.83)

где W - упругий потенциал:

W = pJ=-C,juelel. (15.84)

Для того чтобы вычислить адиабатические модули Ci, нужно перейти от пары термодинамических параметров состояния Г, 6 к паре 5, е. В этих целях согласно (15.64) введём плотность внутренней энергии

ре = Cijkiieij - cxij){eki - аы) -

- pcpTln - (3,jT{ej - (15.85)

выразим из (15.72) перепад температуры

={ps-f5 e ) (15.86)

и подставим в обобщённый закон Гука (15.58):

cTij = Cijki£kl - Pij - {ps - Pkl£kl) (15.87)

Из Сравнения (15.58) и (15.87) находим значения адиабатических модулей:

Ctki = Cm-Mki- (15.88)

pCij

Можно поступить И по-другому, при постоянной плотности энтропии из (15.86) имеем

д =---ijSij + const. (15.89)

Тогда из (15.64), учитывая малость величин aij (пренебрегаем членами с их квадратами), получим

ре = /9/= CijkiSijEki - CijkmjSki + const =

= - CijkiSijeki + Рыеы- + const =

= Viiw + const. (15.90)

Таким образом, при адиабатическом процессе упругий потенциал W совпадает со значением ре, так что

ре = pcpT + W. (15.91)