ЛЕКЦИЯ 16 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Рассмотрим в пространстве систему из материальных точек с массами гпа, = 1,..., Л, движение которых описывается радиусами-векторами

rait) = Xsa-2k\ + 3,-12 + ЗаЗ- (16.1)

Скорости частиц равны

Va{t)=ra- (16.2)

Вся система, очевидно, имеет ЗЛ степеней свободы, так что можно выбрать обобщённые координаты q:

q = {qi{t),q2{t),...,q{t)}, (16.3)

задание которых полностью характеризует положение всех точек в любой момент t, и построить набор обобщённых скоростей q\

q={q,{t),q,{t),...,q{t)}. (16.4)

Компоненты радиусов-векторов Xk связаны с обобщёнными координатами qi с помощью невырожденного преобразования

Xk = Xk{qi). ,fc= 1,...,37V. (16.5)

Кинетическая энергия К системы точек имеет следующий вид О :

N Ш

а=\ к=\

= 2 ааад.- 2МЧгЧг (16.6)

к - 1

о Для сокращения записи в этой и следующей лекциях (в отличие от других) суммирование по повторяющимся два раза малым латинским индексам производится не от 1 до 3, а от 1 до 37V.

и представляет собой положительно определённую квадратичную форму, построенную на обобщённых скоростях, с коэффициентами bij, зависящими от обобщённых координат. Потенциальная энергия и системы зависит от обобщённых координат и, вообще говоря, времени:

U{q,t) = U{quq2,.-.,q,,t). (16.7)

Введём в рассмотрение функцию Лагранжа L:

L{q,q,t)=K{q,q)-U{q,t), (16.8)

зависящую явно от времени, а также от обобщённых переменных и обобщённых скоростей; 6Л переменных {q,q} называются лагранжевыми переменными.

Из аналитической динамики известно, что для консервативных систем имеют место ЗЛ обыкновенных дифференциальных уравнений

d dt

fdL\ дь

\dqi) dqi

= 0 (16.9)

относительно переменных qi, называемые уравнениями Лагранжа второго рода.

Наряду с лагранжевым формализмом используется и га-милътонов формализм. Для этого соотношениями

Pi = Q: p = {Mt),P2{t),...,Psr,{t)}, (16.10)

ВВОДИТСЯ набор р обобщённых импульсов Pi я с помощью преобразования Лежандра

H{q,p,t) = qlp,-L{q,q,t). (16.11)

определяется функция Гамильтона Н. Она может явно зависеть от времени и 6Л гамильтоновых переменных {q,p}. Следовательно, её дифференциал записывается в виде

дН дН дН dH= -dq + dp + dt. 16.12

dqi dpi dt

С другой стороны, из (16.10) и (16.11) следует, что аН = q dpi + Pi dqi - - dqi - - dq - - dt =

= qidpi-dqi-dt. (16.13)

= ft. (16.15)

Таким образом, из (16.14), (16.15) получим систему 6Л канонических уравнений Гамильтона:

Так же как и уравнения Лагранжа (16.9), уравнения (16.16) являются обыкновенными относительно 6Л гамильтоновых переменных {q,p}. Для решения системы (16.16) необходимо задать начальные условия

t = 0: q, = ql Pi = pi (16.17)

Тогда решениями будут наборы g и р:

q = q{q\p\t), p = p{q\p\t). (16.18)

Если существуют такие функции да{(1,рЛ), что вдоль решений (16.18) уравнений Гамильтона

да{д,рЛ) = Са = const, (16.19)

то да называются первыми интегралами уравнений (16.16). Если размерность д совпадает с размерностью энергии, то первый интеграл (16.19) называется интегралом энергии.

Гамильтоновы переменные, не входящие в число аргументов функции Н, называются циклическими. Если т - число циклических переменных (т < 6Л), то сразу можно написать т первых интегралов. Действительно, пусть, например, переменные q\ и р2 циклические, т. е. dH/dq\ = О и дН/др2 = 0. Но тогда из уравнений (16.16) следует, что р = О и 2 = 0. Поэтому функции gi(q,p,t) = р\ и g2{q,P,t) = Я2 являются первыми интегралами.

Приравняем в правых частях (16.12) и (16.13) коэффициенты при независимых 6Л + 1 дифференциалах dqi, dpi и dt:

% % дрг dt ~ dt

и выразим из (16.9), (16.10) dL/dqi.