Разделим обе части соотношения (16.12) на dt и воспользуемся уравнениями (16.16):

di di , . дН

дНдН дНдН дНдН

dqi dpi dpi dqi dt dt

т.е., если H не зависит явно от времени (такие системы называются склерономными), то и dH/dt = 0, что говорит о существовании интеграла энергии

H = K + U = h = const, (16.21)

где h - полная энергия системы.

Для описания движения системы точек в можно ввести фазовое пространство Г размерности 6Л. Точка {q,p) G Г в этом пространстве соответствует некоторому состоянию системы. В этом фиксированном состоянии система описывается обобщёнными координатами q\,q2,..., q и обобщёнными импульсами Pi,P2. .Рзлг- Траектория в фазовом пространстве Г означает движение системы с параметрами q\{t),q2{t),..., q {t);pi (t) ,p2{t),..., p (t). Начальная точка траектории соответствует параметрам (16.17) при t = 0.

Фиксируем в Г конечный объём AqAp и достаточно большой промежуток времени {0;t\). Будем следить за теми промежутками времени to, когда фазовая траектория находится внутри данного выделенного объёма. Тогда при t\ оо величина

w= lim (16.22)

tioo t\

является вероятностью попадания фазовой траектории в объём AqAp при t > 0. Если теперь взять бесконечно малый объём

d = dqdp = dqi . ..dqdpi . ..dp, (16.23)

TO величина dw пропорциональна dy:

dw = f{q,p,t)d-f = f{q,p,t)dqdp. (16.24)

Коэффициент пропорциональности f{q,p,t) в (16.24) представляет собой плотность вероятности нахождения траектории системы внутри малого объёма 7. Вероятность нахождения

Траектории внутри макрообъёма 7 С Г выражается интегралом

w;(7) =

f{q,p, t)dqdp.

(16.25)

Необходимо отметить следующие свойства функции /. а) Вероятность нахождения траектории во всём пространстве Г в любой момент t равна единице:

f{q,p,t)dqdp= 1.

(16.26)

б) Вероятность выхода траектории на границу дТ равна нулю. Другими словами, граница фазового пространства недостижима:

(16.27)

в) Как и у любой функции времени и гамильтоновых переменных, полная производная по времени df/dt в силу канонических уравнений Гамильтона (16.16) представима в виде

= . . . 91 д1дН д1дН

dt dt dqi дрг dt dqi dpi dpi dqi

где использовано обозначение

[Aiq,p),Biq,p)] =

дА дВ дА дВ

dqi дрг дрг dqi называемое скобками Пуассона функций А и В.

(16.28)

(16.29)

Рассмотрим векторное пространство К\ элементами которого являются векторы R с компонентами (gi,... ,Рздг)- Векторы скорости V{q,p) в этом пространстве имеют вид

У = = (q{q,p),...,q{q,p),p\{q,p),...,p{q,p)). (16.30)

Фазовое пространство Г представляет собой бЛ-мерный жидкий объём в М. Аналогом плотности р этого жидкого объёма будет служить плотность вероятности /. Тогда уравнение неразрыв-

ности в каждой точке (д, р) G Г в любой момент времени t записывается по аналогии с (6.10)

+ /divy = o. (i6.3i;

Но, используя уравнения (16.16), имеем

+ ... + ---------... - ----- = 0.

(16.32)

= 0, (16.33)

Таким образом, из (16.31) и (16.32) следует

т. е. для истинного движения системы при любых начальных условиях плотность вероятности f{q,p,t) постоянна. В этом состоит утверждение теоремы Лиувилля. Подставляя (16.33) в (16.28), получим основное уравнение статистической механики - уравнение Лиувилля:

% + [f,H] = 0. (16.34)

Уравнение (16.34) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка для функции f{q,p,t) с переменными коэффициентами. Эти коэффициенты известны, если задана функция Гамильтона Н. Граничным условием для / является требование (16.27), а в качестве начального условия можно взять следующее:

t = 0: fiq,p,0) = Mq,p), (16.35)

Причём функция /о, зависящая от 6Л переменных, задана. Решение начально-краевой задачи (16.34), (16.27), (16.35) и нахождение функции / представляют собой основную задачу статистической механики. Назовём интеграл

MF = (F) =

F{q,p,t)f{q,P,t)dqdp (16.36)

математическим ожиданием величины F{q,p,t), или её средним статистическим значением, или средним по ансамблю.