Тогда аналогично (16.43) и (16.44) будем иметь

д{г), если f G У,

К- Яа)дШ dq3a-2dq3a-\dq3a =

о, если f V,

(16.53)

5(f - gc.) dq3a-2dq3a-\dq3a =

1, если f G У, 0, если f V.

(16.54)

Определение условной вероятности (16.42) с учётом свойств (16.53) и (16.54) теперь можно дать следующим образом:

F{f,t) =

F{q,p, t)fiq,p, t)6{r-qa)dqdp.

;i6.55)

ЛЕКЦИЯ 17

МАКРОВЕЛИЧИНЫ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ

Овладев из прошлой лекции понятиями условной вероятности и среднего по ансамблю и по времени, можно перейти к трактовке уже известных макровеличин, таких как плотность, скорость и др., как средних по ансамблю от объектов, с которыми оперирует статистическая механика [15].

Например, средним по объёму числом частиц, находяш,ихся в момент времени t в точке г, назовём сумму

. N . N

N р

= S{r-qa)fiq,p,t)dqdp, (ПА)

где угловые скобки означают операцию (16.36). Среднее по объёму число частиц и, очевидно, имеет размерность Ь~. Для того чтобы получить общее число частиц во всём объёме, занимаемом системой, необходимо проинтегрировать iy{f,t) по всему этому объёму. Величину

назовём макроскопической плотностью в момент времени t в точке г. Если массы всех частиц одинаковы и равны т, то из (17.1) и (17.2) следует, что

р[гЛ) = mv[f,t). (17.3)

Наряду с определёнными в (16.41) векторами обобщённых координат q\,... ,q введём в рассмотрение векторы обобщённых

импульсов Ра, = 1, . . . , Л!

Ра = {РЪа-2.РЪа-\РЪа) Ра = rUaqa (17.4)

Тогда макроскопической скоростью частицы, находящейся в момент t в точке г евклидова пространства, называется величина

1 / \ 1

() = -(РаК-Ча)) = - {РаК - Ча)) (17.5)

Обратимся К уравнению Лиувилля (16.34) и перепишем его в новых обозначениях:

+ Ея1:№) + Ея1:(/ ) = о-

;i7.6)

Умножим обе части соотношения (17.6) на тр6{г - qp), проинтегрируем по Г и просуммируем по ;9 от 1 до Л. Первое слагаемое в силу определения макроскопической плотности (17.2) даст следующее:

S{f-qp) - {q,p,t) dq dp =

(3=\

Для третьего слагаемого (17.6) будем иметь

Г д

6{r-qp) -r{fp;)dqdp =

N N

dqdp = 0, (17i

так как последний интеграл по формуле Остроградского-Гаусса можно свести к интегралу по границе дГ фазового пространства Г. Воспользуемся свойством (16.27) плотности вероятности / и сразу получим (17.8).

Второе слагаемое (17.6) с учётом определения (17.5) макроскопической скорости примет следующий вид:

г д

тр S{r-qp)Y--{fq)dqdp =

/3=1 I а=\

= Y,mp

/3=1

8{r-q,3)

щUЯp)dqdp =