либо (18.13). Если дополнительно известно, что поле и потенциальное (безвихревое), то в (18.11) и (18.13) отличны от нуля только первые слагаемые, если поле и соленоидальное, то только вторые. Описанный алгоритм нахождения потенциалов 0 и указывает на единственность разложения (18.1). Теорема Гельмгольца доказана.

Эта теорема векторного анализа играет важную роль в элект-ромагнитодинамике - разделе МСС, занимающемся процессами деформирования сплошных сред под действием сил не только механической, но также электрической и магнитной природы [24,56]. Говоря об электрических силах, необходимо вспомнить известный в классической механике закон тяготения Ньютона, утверждающий, что для двух точечных масс т\ и т2 в пространстве

Рп = -!Щр-, (18.14)

Г12Г Г12

где F\2 - сила, действующая со стороны массы т\ на т2, г\2 - вектор, указанный на рис. 51, / 6,673-10 м/( кг-с) - гравитационная постоянная.

Ранее были введены плотность распределения массы р, пробная единичная масса и силы, которые появлялись от взаимодействия пробной массы с другими массами. Пусть теперь

Ш1ф--гп, Ч 111-

Рис. 51 Рис. 52

в пространстве расположены два заряда: е\ и 62 (рис. 52). Тогда по аналогии с (18.14) положим, что со стороны заряда е\ на 62 действует кулоновская сила

Р = ±{щр. (18.15)

\Г\2Г Г12

Знак + в (18.15) выбирается, если заряды одноимённые, а знак - , если разноимённые (противоимённые). Соотношение (18.15) называется законом Кулона.

Заметим, что не все элементарные частицы являются источником электромагнитного поля. Так что значения электрического

заряда е приписываются только частицам, которые создают такого рода поля. Законы физики не изменяют своего вида при замене всех положительных зарядов на отрицательные и наоборот.

Если заряды некоторым образом непрерывно распределены в пространстве, то характеристикой такого распределения {ъш-стся. плотность заряда pe{r,t)= lim Ае/АУ:

е = V

PedV, (18.16)

где е - суммарный заряд объёма V. Примем закон постоянства заряда в виде т

= 0, (18.17)

ИЛИ, если заряды точеченые,

Е-ЕГ = const. (18.18)

г=\ г=\

Плотность заряда удовлетворяет дифференциальному уравнению постоянства заряда, записываемому аналогично уравнению неразрывности (6.11):

+ div(pe) = 0, (18.19)

где V - скорость движения зарядов.

Пусть поле создаётся точечным электрическим зарядом во, помещённым в начале координат. Введём характеристику этого поля - вектор электрической напряжённости, или просто напряжённость, Е - такую, что при внесении в поле пробного заряда е, одноимённого с во, на него действует центральная сила

F = eE. (18.20)

Поле Е состоит из суммы полей отдельных (свободных) зарядов:

div£; = 4Pe rot£; = 0, (18.21)

и является безвихревым. Тогда из теоремы Гельмгольца следует, что существует электрический потенциал Lp, такой что

Ё = - grad (/9, А( = -47rpg. (18.22)

Следовательно, если р = ео5(х - ), то

(/р=, (18.23)

и из первой формулы (18.22) получим

=-eograd- = eo. (18.24)

Тогда из (18.20) следует, что

F = eeo. (18.25)

Выражение (18.25), собственно говоря, и представляет собой закон Кулона.

Если заряд непрерывно распределён по объёму V (или по поверхности И, или вдоль кривой Г) с плотностью pe{f,t), то электрический потенциал имеет вид

- ah, (f = г

(18.26)

Функция (f (18.26) является решением уравнения Пуассона (18.22)

А = -47тре, (18.27)

а следовательно,

div = Аттре, rotE = 0. (18.28)

Возьмём теперь заряд е в начале координат и заряд -е в точке с радиусом-вектором / (рис. 53). Если длина /1 много меньше расстояния от данных зарядов до исследуемых точек, то совокупность зарядов е и -е носит название диполя. Потенциал диполя в произвольной точке f равен

(р=-- = egrad-.r= grad-.dp, (18.29)

\r\ \f-l\ г г

где вектор

dp = el (18.30)

называется поляризационным моментом. Введём также соотношением

dp = PdV (18.31)

вектор поляризации Р. Тогда потенциал диполей, распределённых по объёму V с границей И, равен