Р grad -dV =

dV =

divP

dV. (18.32)

Если объём V бесконечен, по нему распределены истинные заряды О с плотностью ре и диполи, а на бесконечности и те и другие отсутствуют. Если же существуют одновременно и истинные заряды и поляризационные моменты, то потенциал имеет следующий вид:

Pe(0-divP(0

LP =

;i8.33)

где г - расстояние (18.8) между и текущей точкой г. Функция (/9 (18.30) является решением уравнения Пуассона

А( = -4(p-divP). (18.34)

Примем во внимание связь (18.22) Е с Lp ia вместо первого равенства (18.28) из (18.34) придём к выражениям - для плотности истинных зарядов

р = -Ldiv( + 4P),

- для плотности свободных зарядов

р = div

= ре - div Р

;i8.35)

;i8.36)

;i8.37)

-для плотности поляризационных зарядов

-Ре + Р= -div р. В диэлектриках благодаря воздействию поля электрической напряжённости Е происходит ориентация диполей, т. е. поляризация. Если диэлектрик изотропный, то вектор поляризации Р коллинеарен вектору электрической напряжённости Е. Тогда

О Под истинными зарядами понимаются все заряды, которые под действием электрического поля могут перемещаться на большие расстояния. Заряды, входящие в состав нейтральных молекул и колеблющиеся вблизи положений равновесия этих молекул, носят название связанных. Совокупность истинных и связанных зарядов называют свободными зарядами.

вводится так называемый вектор электрической индукции D:

3 = Ё + 47тР = кЁ, (18.38)

Р= Ё, (18.39)

где X - диэлектрическая проницаемость среды.

Если среда электрически анизотропна, то определяющие соотношения (18.38) следует записать в более общем виде

D = xE, (18.40)

где X - симметричный тензор диэлектрической проницаемости. Тогда вместо (18.39) получаем

Р={-Г)Е. (18.41)

в вакууме электрическое поле изотропно {Р = 0) и, следовательно, X = 1.

С помощью понятия поляризации (непосредственно ненаблюдаемой) объясняются изменения электрического поля, возникающие при внесении незаряженного диэлектрика в данное электрическое поле.

Проводник электричества - это тело, для которого в статических условиях потенциал (р постоянен, т. е. Е = О, ре = 0. Проводники могут нести только поверхностные заряды, следовательно, статически ведут себя как тела с бесконечно большой диэлектрической проницаемостью х. Поляризационные заряды на проводниках называются индуцированными зарядами. Их можно считать истинными зарядами.

Итак, задача электростатики заключается в отыскании векторных полей Е и D при заданных по форме и положению в пространстве проводниках и изоляторах. При этом

dwD = 47tpe, 3 = кЁ, rot = 0. (18.42)

Как полную аналогию электростатики построим теперь магнитостатику. Для этого вместо электрического заряда е введём магнитный заряд Ше, т.е. везде сделаем замену е тпе. Вместо векторов электрической напряжённости Е, поляризации Р и электрической индукции D введём в рассмотрение векторы магнитной напряжённости Я, намагниченности М и магнитной индукции В соответственно, т.е. Е Н, Р М, D В.

Вместо диэлектрической проницаемости х (тензора диэлектрической проницаемости х) будем рассматривать магнитную проницаемость р {тензор магнитной проницаемости р), т.е. к р, я р.

Однако следует сразу отметить несколько различий между величинами магнитостатики и аналогичными им величинами электростатики.

1) Не существует никакой истинной плотности магнитных зарядов. Поэтому уравнения магнитостатики, в отличие от (18.42), приобретут вид

divP = 0, В = рН {В = рЙ), rot# = 0, (18.43) причём

В = Й + 47тМ. (18.44)

2) Для некоторых веществ, например ферромагнетиков, магнитная проницаемость р не является постоянной величиной и может сложным образом зависеть от магнитной индукции Н (случай гистерезиса). Поэтому намагниченность М может быть отличной от нуля и в отсутствие магнитной напряжённости Я. Это происходит, например, в постоянных магнитах.

3) Не существует никаких проводников магнетизма, а также магнитных аналогий диэлектриков и изоляторов. Однако некоторые вещества в силу своей большой магнитной проницаемости ведут себя как магнитные проводники (например, мягкое железо).

4) Поле магнитной индукции В, как следует из (18.43), соленоидально, что говорит о существовании векторного потенциала

В = го{Ф, (18.45)

Из теоремы Гельмгольца следует, что

Г rotP(0

или, согласно (18.43) и (18.44),

f rotM(0

dV (18.46)

dV. (18.47)