Применяя далее ко второму из уравнений (19.9) оператор div, получим

47Г \ д

-divi + -7(divL) = 0,

с cdt или

47г/. др,

div. + j=0. (19.13)

Т. е. уже известное уравнение, которое является следствием закона сохранения заряда.

Рассмотрим теперь силы, действующие на заряды в элек-тромагнитодинамике. Из (18.20) и закона Кулона (18.25) при непрерывном распределении заряда с плотностью ре следует

Р = реЁ. (19.14)

Элемент проводника, по которому протекает ток плотности j, испытывает в магнитном поле Н так называемую пондеромо-торную силу

F= -JH. (19.15)

Сумма сил (19.14) и (19.15) называется лоренцевой силой:

F = peE+-JxH. (19.16)

Умножим скалярно первое из уравнений (19.9) на Я, а второе на Е, после чего вычтем одно из другого:

c\dt at J

(19.17)

Левую часть выражения (19.17) можно записать, применив свойство смешанного произведения векторов, в форме

E-{VxE)-E-iVxE) = eijkHidjEk - eijkEidjHk- (19.18)

С другой стороны, воспользуемся записью смешанного произведения V -{Ё X Н):

V-{ExH) = eijkdiiEjHk) = eijkHkdiEj +

+ €ijkEjdiHk = eijkHidjEk - €ijkEidjHk. (19.19)

Из Сравнения (19.18) и (19.19) заключаем, что

div ( X Я) = Я . rot - . rot Я. (19.20)

Введём теперь так называемый вектор Пойнтинга S:

S = ExH, (19.21)

так что

dw(ExE) = -divS. (19.22)

Используя определяющие соотношения (19.10) и (19.11), преобразуем первые два слагаемых в правой части (19.17):

. Н + . Ё = рН- Н + яЁ- Ё = -{p\Hf +

(19.23)

Учитывая (19.20), (19.22) и (19.23), из (19.17) получим

div+ {р\Н\ + я\Ё\) +]-Ё = О, (19.24)

или, после интегрирования по объёму V: 1 d

{li\Hf + x\E\)dV = -

S ndT, -

j-EdV. (19.25)

Г=-(/.Я2 + хЕ2). (19.26)

Обратим внимание на единую запись постулатов механики сплошной среды в интегральной форме (14.55) и их дифференциальные следствия (14.58). Сравнивая (14.55) с (19.25) и (14.58) с (19.24), заключаем, что уравнения (19.25) и (19.24) имеют форму законов сохранения энергии применительно к электромагнитной энергии Т:

Величину Т обычно называют потоком вектора Пойнтинга. Как видно из указанного выше сравнения, источники в (19.24) и (19.25) отсутствуют, а производство j Е называют джоулевым теплом:

где / - длина проводника, S - площадь его сечения, а i? - сопротивление.

[Ё] = [F]/[e] = M/L-/T-\

Предоставляем читателю самостоятельно показать, что для проводника, имеющего форму прямолинейного кругового цилиндра радиуса а, длина вектора Пойнтинга представляется в виде

Выпишем теперь размерности некоторых используемых электромагнитных величин. Из закона Кулона (18.15) следует, что

[e] = [F]/L = M/L/T-\

из (18.16) из (18.20) из (18.49)

[/] = [е]Г-> = MILIT-\ из (18.51) или (18.58)

[j] = [/]L-2 = M/2L-1/2-1,

из (18.67)

[Н\ = []\Ь/[с\ = М Ч- Т- = [Ё],

из (19.21)

[S] = [Ef[c] = МТ-\ [divS] = ML-T-\

и, наконец, из (19.26) и того, что коэффициенты ц и м: безразмерны, следует

[Г] = [Ef = ML-T-\

Для движущегося проводника необходимо учесть некоторые преобразования. Ведь до сих пор считалось, что все рассматриваемые величины изучаются в некоторой инерциальной системе отсчёта, которая условно принималась неподвижной. Все законы механики одинаковы в любой инерциальной системе отсчёта, или, другими словами, инвариантны относительно группы преобразований Галилея

t = t, f = f-vt. (19.29)

Как же обстоят дела с электромагнитными величинами? Пусть, например, экспериментально установлено, что в некоторой области V пространства

= 0. (19.30)