уравнение притока тепла (20.5) при наличии электромагнитных сил запишется в виде {w = 0)

pT = pq + AAT++j.E. (20.11)

at р dt

Если температура меняется незначительно (Г Tq), то левую часть (20.11) можно линеаризовать вблизи Г = Tq и получить уравнение теплопроводности, обобщающее (15.13):

,c f = + АДТ+е(20.12)

Определяющие соотношения идеальной жидкости (15.21)

замыкают систему уравнений МГД. Действительно, подсчитаем число неизвестных функций и число выписанных уравнений.

Примем, что среда представляет собой идеальную жидкость,

Р = -pL (20.6)

кроме того отсутствуют намагниченность (/i = 1) и поляризация (х = 1), но могут протекать токи. Уравнения движения для такой модели записываются следующим образом:

+ v - Gradv) = -gr2idp + pF + ре(Ё + - x Й] + - x Й, \ot J \ с J с

(20.7)

причём последнее слагаемое в правой части присутствует в силу неинерциальности системы отсчёта.

Имеются также семь уравнений Максвелла (19.9):

rot = --?, roti?=-j + div = 4pe, (20.8)

с at с с at

и векторный закон Ома

]=а[Е+-хЙ+ peV. (20.9)

С учётом закона теплопроводности Фурье для изотропного тела (15.14):

= -ЛГ (20.10)

В ЧИСЛО неизвестных входят векторы скорости напряжённости электрического поля Е, напряжённости магнитного поля Н, плотности силы тока j, а также скалярные величины: массовая плотность р, плотность заряда ре, давление температура Г и плотность энтропии 5, т.е. всего 17 величин. С другой стороны, имеются: одно уравнение неразрывности (20.1), три уравнения движения (20.7), семь уравнений Максвелла (20.8), три соотношения Ома (20.9), одно уравнение теплопроводности (20.12) (либо (20.11)) и два определяюш,их соотношения (20.13), т.е. всего 17 уравнений.

Следовательно, модель МГД для идеальной жидкости получилась замкнутой.

Несложно дать обобщение модели МГД на случай вязкой сжимаемой жидкости. Для этого вместо (20.6) необходимо записать определяющие соотношения (9.51)

Р = р/ + г = {-p + \xd\vv)l + 2pxD, (20.14)

где Ai и /ii - коэффициенты вязкости, т - тензор вязких напряжений (9.49), D - тензор скоростей деформаций (9.50).

Тогда уравнения движения (20.7) дополнятся новыми слагаемыми:

р( - + i7- GradiT) = - gradp + (Ai + /ii) grad divi7 + \ot J

+ piAv + pF + pe(E+xE+-xE, (20.15)

a в правую часть уравнения притока тепла (20.11) согласно (20.5) войдёт функция рассеивания (15.39) (ведь теперь модель необратимая):

* = г : D = Ai (div) + 2/iitr=

= (Ai + /ii(div)42/iiD2 (20.16)

Здесь Du - интенсивность тензора скоростей деформаций (15.34). При этом число уравнений и число неизвестных функций не изменятся и останутся равными 17.

Приведём теперь ещё одну классическую связанную модель электромагнитотермомеханики, а именно модель электротермоупругости {ЭТУ) [13,19]. Будем рассматривать, как и ранее.

малые деформации

гJ = {Щ,J+UJ,г) (20.17)

и считать тензор напряжений симметричным {aij = aji). Некоторые кристаллы {пъезоэлектрики) обладают свойством прямого пьезоэлектрического эффекта {прямого пьезоэффекта), который описывается определяющими соотношениями, связывающими вектор поляризации Р с тензором напряжений а:

Рг = с1фак (20.18)

Тензор третьего ранга с компонентами dijk называется тензором пъезомодулей. Заметим, что отличны от нуля только для анизотропной среды.

Если под действием электрического поля кристалл изменяет свою форму, то присутствует так называемый обратный пьезоэлектрический эффект {обратный пъезоэффект):

ejk = d,jkE,. (20.19)

Такими эффектами обладают кварц, сегнетова соль, пьезокера-мика (например, титанат бария) и некоторые созданные в последнее время композиты. Эти материалы используются в различного рода преобразователях, микрофонах, стабилизаторах частоты, адаптерах, вибраторах, громкоговорителях и др.

В приборах, регистрирующих температуру (например, термопарах), часто находит применение пироэлектрический эффект {пироэффект) - возникновение электрической поляризации Р под действием температуры:

Р,=р,, = Т-То, (20.20)

где Pi - компоненты материального пироэлектрического вектора.

Токи, в том числе и токи смещения, не учитываются, отсутствуют также и электрические заряды. Поэтому можно воспользоваться уравнениями электростатики, являющимися следствиями уравнений Максвелла (19.9):

rot = 0, divD = 0. (20.21)

Из (18.38), (20.18) и (20.20) следует

D, = E, + АттР, = x,jEj + 47T{dajk + Рг) (20.22)