Уравнения движения запишем в виде

а уравнение притока тепла

= a,-,- + pF (20.23)

r/s 1

р- = -[рд+(Л Г,),]. (20.24)

Из первого соотношения (20.21) следует существование электрического потенциала Lp (18.22):

Ё= - grad (/9. (20.25)

Таким образом, неизвестными величинами являются а, б, гГ, Е, D, ip, S, Т, т. е. всего 24 величины. Для их определения имеем шесть соотношений Коши (20.17), четыре уравнения Максвелла (20.21), три уравнения движения (20.23) и одно уравнение притока тепла (20.24), т.е. всего 14 уравнений 0. Поэтому для замыкания системы необходимо привлечь десять определяющих соотношений.

В лекции 14 уже были введены некоторые термодинамические потенциалы, зависящие от различных параметров. Рассмотрим восемь таких потенциалов, каждый из которых зависит от механических и электрических параметров. Это внутренняя энергия E{S,e,D), E\{S,e,E), свободная энергия Гельмгольца F{T,e,D), Fi(5,6,) энтальпия H{S,a,D), Щ{8,а,Ё), потенциал Гиббса G{T,a, D), G\{T,a, Е). Любой из этих восьми потенциалов выражается через другие с помощью преобразования Лежандра.

Так, потенциал G\ можно выразить через внутреннюю энергию Е с помощью преобразования

G=E-ST- G,e, - D,E,. (20.26)

Тогда

dGi = -SdT- do, - A dE (20.27) Введём потенциал G такой, что

dG2 = SdT + daj + Dl dE =

= Sd + Ег daj + Dl dE (20.28)

0 Заметим, что уравнение (20.25) не может быть учтено, ибо из него следует тождественное удовлетворение первого соотношения

в (20.21).

(dS\ ср dG2 dsij дТ2 \дТ J Tq duijdaki даы

dG2 dD* ЩЛ

dEdEj dEj 47T

Здесь Jijkl - компоненты изотермического тензора упругих по-датливостей.

Учитывая связанные эффекты, выпишем вторые смешанные производные G2. Получим компоненты тензора теплового расширения aij.

дтда ~ дт

dG2 dj

= a,j, (20.34)

компоненты материального вектора пироэлектричества pi.

dG2 dDl

дТдЕг дТ а также пьезоэлектрические модули dijk.

= Pi, (20.35)

dG2 dsjk

dEidajk dEi

= dijk. (20.36)

где для удобства использована величина = Di/{A7r). Для неё из (20.22) имеем

А* = гJEJ + d,jkajk + Рг (20.29)

Вместо энтропии S будем рассматривать её плотность s, для которой справедливо соотношение (15.71)

ps = рср In - + aijaij. (20.30)

Если температура Г не очень сильно отклоняется от Tq, т.е. 1? < То, то вместо (20.30) можно записать

ps = рср- + aijaij. (20.31)

Из связи дифференциалов (20.28), очевидно, следует, что

t-. t-

Вторые производные от G2 по основным параметрам дают

~ Jijkh

Потенциал G2, как и всякий термодинамический потенциал, зависит от термодинамических параметров состояния, например тензора второго ранга ji. Чтобы получить физически линейные определяющие соотношения, будем считать G2 квадратичной функцией от /i!

Так как любой термодинамический потенциал определяется с точностью до константы, без ограничения общности примем С\ = 0. Кроме того, в некотором равновесном положении ji - =

= 0 равна нулю обобщённая сила {dG2ldiiij){ii) = 0. Таким образом, на определяющие соотношения не оказывают влияния первые два члена разложения (20.37). Используя данное разложение, можно записать

dG2 , dG2 dG2 ПОЛОСА

dTdaij daijdaki dEkdaij

dG2 , , dG2 , dG2

- WdEi + mdi + moEj

или, в терминах плотности энтропии s, учитывая (20.33)-(20.36):

ps = -д + aijaij+piEi,

-1-0

ij = ац + Jijklkl + dkijEk, (20.39)

Равенства (20.39) и являются недостающими десятью определяющими соотношениями, о которых шла речь в этой лекции при постановке задачи ЭТУ.

Если напряжённость электрического поля отсутствует, т. е. = О, то определяющие соотношения (20.39) принимают вид

ps = + cxijgij, ejj = £ij - aij = Jijki(jkl (20.40)