Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Элементы теории определяющих (факторов) 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72  73  74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

О Об этом уже шла речь в лекции 15.

Умножая вторую группу равенств (20.40) на Cmnij и суммируя по индексам i и j, придём к зависимости (15.58) напряжений от деформаций и перепада температур:

тп - CfYifiijSij CXijl} = CfYifiijSjj, (20.41)

или, с учётом обозначений (15.69):

тп - CfYinijij ~ (Зтп (20.42)

Итак, определяющие соотношения линейного термоупругого тела, о которых говорилось в лекции 15, получаются как частный случай соотношений (20.39).

Подставим теперь (20.42) в первое равенство (20.40):

ps = + a,j{Cieu - А,) = + (kiskb (20.43)

Обратимся снова к нелинейному уравнению притока тепла (20.24) и линеаризуем его вблизи некоторой температуры Г = Го (?<Го). Дифференцируя по времени (20.43), а также первое равенство (20.40), найдём выражение для производной pds/dt, которое подставим в (20.24). Окончательно линеаризованное уравнение притока тепла можно записать в одной из двух форм:

рс, = pq+ (AiTj), - Го(А,е ) (20.44)

либо

dT d

рср = pq+ {KJTJ),г - Tojja.j). (20.45)

Как видно, в уравнениях (20.44) и (20.45) присутствуют механические слагаемые, однако в случае медленно текущих термодинамических процессов последними слагаемыми в них можно пренебречь по сравнению с другими О . В результате получается обычное уравнение теплопроводности

PP = PQ+iгJT,) (20.46)

которое решается отдельно от системы уравнений электроупругости в случае электростатики.



Попробуем упростить рассмотренную систему двадцати четырёх уравнений. Для этого умножим вторую группу определяющих соотношений (20.39) на Cmnij и просуммируем по индексам i и j:

Стп - Cfnnijij ~ Ртп ~ ктпк (20.47)

где ekmn = Cjnnijdkij- Подставим напряжения (20.47) в уравнения движения (20.23):

Р = Р + Ciuk,ij - M,j + ещкз (20.48)

и в третью группу равенств (20.39):

Щ = Vi + dijkiCjkmnUm,n - Pjkd + ernjk,m) -JJ =

= {Pi - dijk(3jk) + eimnUm,n + ldijkemjk - ru (20.49)

Из второго уравнения Максвелла (20.21) следует, что

+ [dijkemjk - ) .mi = 0. (20.50)

Итак, относительно трёх компонент вектора перемещений температуры Г и электрического потенциала Lp получена система пяти уравнений: (20.46), (20.48) и (20.50). Причём благодаря независимости уравнения притока тепла (20.46), как уже было замечено, оно решается отдельно, после чего функция Г подставляется в подсистему электроупругости (20.48), (20.50) относительно четырёх неизвестных щ и Lp.



ЛЕКЦИЯ 21

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ

Все сформулированные в лекциях 6 и 7 постулаты справедливы для любой среды: жидкости, газа, твёрдого деформируемого тела, теплорода, плазмы. Для замыкания же системы дифференциальных уравнений, полученных как следствие основных постулатов МСС, требуется введение так называемых определяющих соотношений [41]. Ранее уже были рассмотрены различные параметры кинематического и статического толка. Некоторые из них были названы термодинамическими параметрами состояния.

Из всех рассмотренных параметров (скаляров, векторов, тензоров второго ранга и т.д.) можно выделить два особенных типа. Первый - это так называемые основные параметры: перемещения, скорости, температура и т.п. Второй тип - это двойственные к ним параметры, называемые потоками основных величин. Двойственными они называются потому, что свёртка основного параметра и соответствующего ему потока описывает некоторый вид энергии. Примерами потоков могут служить напряжения или вектор теплового потока.

Связи между основными величинами и их потоками и называются определяющими соотношениями. Если эти основные величины и их потоки являются термодинамическими параметрами состояния, то связывающие их определяющие соотношения часто называются уравнениями состояния. Модель сплошной среды по существу и задаётся определяющими соотношениями, которые могут иметь довольно сложную операторную природу.

В рассмотренных простейших моделях определяющие соотношения имеют вид скалярных, векторных или тензорных функций. Эти определяющие соотношения полностью восстанавливаются по экспериментально найденным числам либо функциям, которые называются материальными функциями, потому что в рамках выбранной математической модели показывают, чем один материал отличается от другого.




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72  73  74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!