Приведём примеры некоторых определяющих соотношений. Вспомним, например:

- закон теплопроводности Фурье (14.41)

д, = -Л Г (21.1)

- закон Гука (10.3)

(Тгз=Сф1£ы, (21.2)

- закон баротропии для идеальной жидкости (9.12)

р = р{р) или р = р{р), (21.3)

- связь вязких напряжений со скоростями деформаций (9.49)

nj = XltrDдгJ+2plDгJ, (21.4)

- соотношения, описывающие пьезоэлектрический эффект (20.18)

£ = dajk, (21.5)

и соотношения, описывающие пироэлектрический эффект (20.20)

Pi=Pii}. (21.6)

В этих примерах материальными функциями являются тензор теплопроводности с компонентами Aij, тензор модулей упругости Cijki, коэффициенты вязкости Ль /ii, тензор пьезомоду-лей dijk и материальный вектор пироэлектричества pi.

Опишем некоторые свойства определяющих соотношений и их материальных функций.

1. Определяющие соотношения подразделяются на линейные и нелинейные, причём линейность может быть геометрической и физической. Физически линейным называется оператор а = = Р{е), для которого выполнен принцип суперпозиции

Р{ахех + а2£2) = Qi£(£i) + о2ЁШ, oi\.oi2 (21.7)

В противном случае соотношения называются физически нелинейными. Операторы, задающие связи (21.1) - (21.6), очевидно, физически линейны в смысле определения (21.7). Однако их несложно обобщить на нелинейный случай. Например, нелинейный пироэлектрический эффект описывается следующим образом:

Pi=Pi{T), (21.8)

а нелинейный закон Фурье имеет вид

g, = -A (gradr)r,. (21.9)

eij = 7{uij + uj,i). (21.12)

Как видно, нелинейность достигается тем, что материальные функции {pi, Aij) становятся зависящими от инвариантов величин, которые стоят в правых частях. Для тензоров второго ранга физическая нелинейность вводится сложнее. Так, общий вид тензорно нелинейной изотропной функции одного симметричного тензора от другого симметричного тензора (например, связывающей напряжения и деформации) следующий:

aj = Fo(/i, /2, Iз)SгJ + Fx (/1, /2, h)ej +

+ Г2(/1,/2,/з)в.в (21.10) где материальные функции Fi, F2 и F3 зависят от трёх инва-риатнов /ь /2, /3 тензора деформаций. Если F3 = О, то функция (21.10) называется тензорно линейной или квазилинейной, но остаётся по-прежнему физически нелинейной.

Если для тензорной функции (21.10) существует скалярный потенциал V(/(/i,/2,/3), такой что

dW dWdk ......

де dli де то она называется потенциальной.

Геометрическая линейность имеет место, если деформации связаны с перемещениями соотношениями Коши (5.5)

Если же деформации не являются малыми и не все компоненты тензора дисторсии много меньше единицы, то

ij = + Uj,i + Uk,iUkj), (21.13)

что означает геометрическую нелинейность.

2. Различают изотропные и анизотропные определяющие соотношения. Назовём тензорную функцию а{е) инвариантной относительно некоторой группы преобразований S, если для каждой матрицы Q преобразования S справедливо свойство

a(Q-i6Q) = Q-VQ. (21.14)

Если S - полная группа движений евклидова пространства R, то тензорная функция а{е), удовлетворяющая (21.14) для любой ортогональной матрицы Q, называется изотропной.

Тензор, который инвариантен относительно некоторой подгруппы полной ортогональной группы, может быть выражен как сумма конечного числа инвариантных тензоров с некоторыми

скалярными коэффициентами. Набор этих тензоров называется тензорным базисом данной подгруппы преобразований. Каждая такая подгруппа характеризует определённый класс анизотропии в сплошной среде.

Тензорный базис изотропной среды, как среды, свойства которой одинаковы во всех направлениях и при отражении относительно любой плоскости, состоит только из единичного тензора с компонентами Sij, так что любой материальный тензор второго ранга b в изотропном теле имеет вид

bij = bSij, (21.15)

Материальный же тензор четвёртого ранга А, симметричный хотя бы по первым двум индексам, выражается через тензорный базис в виде

Аф1 = AiSjSki + A2{S,kSji + SuSjk) (21.16)

В (21.15) и (21.16) b, А\ и А2 - материальные коэффициенты.

Из соображений чётности числа индексов ясно, что тензор нечётного ранга нельзя представить в виде комбинаций символов Кронекера Sij. К числу материальных тензоров нечётного ранга можно отнести введённые в лекции 20 материальные векторы pi и тензоры пьезомодулей dijk. Отсюда сразу следует, что как пироэлектрический эффект (20.20), так и пьезоэлектрический эффект (20.18) в изотропной среде невозможны.

Рассмотрим два распространённых вида анизотропии, или две подгруппы полной ортогональной группы в [25, 36].

Трансверсально изотропная среда характеризуется тем, что в ней свойства не меняются при повороте на любой угол относительно некоторой оси (например, оси (Охз)) и при отражении относительно произвольной плоскости, содержащей эту ось. Тензорный базис в данном случае состоит из единичного вектора вдоль оси трансверсальной изотропии с компонентами (k = зк а также тензора

ЪJ=SuSlJ+S2гS2J. (21.17)

Материальные тензоры Ьи А в трансверсально изотропной среде представляются следующим образом:

kj = biQCj + b2j (21.18)

Aijki = Aij-fki + А2{ък1з1 + ЪПзк) + 3(7ijC/cO + 700) +

+ A40oao + л(7гоо+ijkCiCi+luCjCk+зЫк)- (21.19)