где a - криволинейные координаты. Очевидно, что соотношение (22.2) можно записать в виде

Xi = Xi{t,a\a), (22.3)

(xi,X2,X3,t) = 0. (22.4) Тогда вектор единичной нормали п имеет вид

Igradl

Будем обозначать скорость поверхности в направлении её движения через

D = Dn, D=\D\, (22.6)

т. е. скорость поверхности Sq всегда направлена по нормали к Но- Вектор D{x), х G Sq вообще говоря, отличается от вектора скорости vlx) материальной частицы, находящейся в момент времени t в точке х поверхности.

Поскольку равенство (22.4) выполнено при любом t, возьмём полную производную по t от обеих его частей:

dt~dt

grader = 0.

(22.7)

Разделим (22.7) на grad и учтём равенства (22.5) и (22.6). Тогда получим выражение для модуля скорости поверхности Sq-

В = -,Щ. (22.8)

\gvadg\

Выберем в пространстве некоторый подвижный (жидкий) объём V, который исследуемая поверхность Sq в каждый момент времени делит на два объёма: V и V (рис. 61).

Обратимся теперь к общей интегральной записи постулатов МСС (14.55): d

padV =

pAdV +

CdV,

(22.9)

описывающей изменение величины jpadV. Дифференциальным следствием (22.9) является равенство (или равенства, в зависимости от ранга тензора а) (14.58)

р = pA + DivB + C.

(22.10)

So] V L

Рис. 61

Полагая a, A, B, С такими же, как в (14.59)-(14.63), из (22.9), (22.10) получим интегральные и дифференциальные формулировки всех пяти постулатов МСС.

Воспользуемся леммой о дифференциро-

вании по времени интеграла по жидкому объёму (6.4):

f{r,t)dV =

dl dt

dV +

fvn dT,

(22.ir

и применим её последовательно к жидким объёмам V и V (рис. 61):

d dt

f{r,t)dV = f{r,t)dV =

dl dt

Г dl

dV +

dV +

KdT +

KdT-

fDdT. (22.12)

fDdT. (22.13)

Здесь v и v - значения нормальной составляющей вектора скорости на поверхностях Е и Е соответственно.

Выполним предельный переход при V = V l)V О, при этом S So, S Eq. Обозначим / и / предельные значения непрерывной функции f{r,t) при стремлении У О со стороны V и V соответственно. Тогда

fvndT

fvndT,

fvT. (22.14)

Из (22.12)-(22.14) получим

vodt

fdV= lim

f{v-D)dT + + f {v;-D)dT. (22.15)

Проделывая ту же процедуру разбиения V яг я V с последующим устремлением V к нулю в (22.9), где положим

ра = f, будем иметь

vo dt

pAdV +

fdV= lim

V у So

+ lim

CdV. (22.16)

Если величины f, A я С ограничены, то все объёмные интегралы в (22.15) и (22.16) стремятся к нулю. Таким образом, в каждой точке поверхности Sq справедливо соотношение для разрывных на Sq функций / (/ - = [/]):

Г -D)- / -D) = - б;, (22.17)

называемое условием на поверхности разрыва.

В формулировках каждого из известных постулатов МСС объекты f я В имеют конкретный вид (см. (14.59) - (14.63)). Рассмотрим условия на поверхности разрыва (22.17) применительно к этим постулатам.

1. Для первого постулата (6.8) (закона сохранения массы) f = р, В = 0. Получающееся из (22.17) скалярное соотношение

p {v:-D) = p{v,-D) (22.18)

описывает скачок плотности при переходе через поверхность Sq. Если р < р\ то имеет место скачок разрежения, если же р > р\ то скачок уплотнения. Из (22.18) видно, что если = О {распад разрыва), то v < D.

2. Для второго постулата (6.34) (закона об изменении количества движения) / следует заменить на вектор pv, а Вп на Sn = SjUj = aijUjki. Из (22.17) получим

-D)- рЧ -D) = Ыщ, (22.19)

или, используя предыдущий закон (22.18),

pN -D) = K]n,. (22.20)

3. Для третьего постулата (7.2) (закона об изменении момента количества движения) / заменим на г х piT, а Б на р х 5:

ijk[p x,vl{v;, -D)- pxjvkiv - D)) = ефХ.Ыпгп. (22.21)

Видно, что три соотношения (22.21) являются лишь следствиями соотношений (22.19).