4. Четвёртый постулат (14.44) представляет собой закон сохранения энергии в МСС. Положим f = е, Вп = -Qn и из (22.17) получим скалярное условие

/е -D)- реК -D) = -(gf - дщ, (22.22)

ИЛИ, с учётом (22.18),

р[е]{у-В) = -[д,]щ. (22.23)

Этот же постулат можно записать и форме (14.43), при этом f = e + \v\/2, Bn = Sn-v - qn. Тогда, принимая во внимание (22.18),

Ып-D) = [(TijVj - qi]ni.

(22.25)

5. Для пятого постулата о притоке тепла (14.50) необходимо положить / = ps, Вп = -q-n/T:

p s {v;-D)-ps{v-D) = -

ИЛИ, с учётом (22.18),

p[s]iv-D) = -

(22.26)

(22.27)

6. Обратимся теперь к соотношению электромагнитодинамики (19.25), для которого f = {я\Ё\ + р\Н\)/{Ъ), Вп = Sn, где S - вектор Пойнтинга. Условие на поверхности разрыва (22.17) запишется следующим образом:

(22.28)

В заключение рассмотрим вопрос о так называемой постановке задач для изучаемых в этой книге моделей сплошных сред. Данному вопросу достаточного внимания ещё уделено не было, так как для этой цели требуется знание более серьёзного математического аппарата, чем тот, который использовался до сих пор.

и{х) =

{x-y)f{y)dy + C2X + C,. (22.31)

Если решается уравнение (22.29) на конечном отрезке

О < X < /, то дополнительные условия в граничных точках отрезка можно записать в виде

г(0) = С1, и{1) = С2. (22.32)

Эти условия называются краевыми или граничными, а задача (22.29), (22.32) называется краевой задачей. Её единственное решение таково:

и{х) =

{x-y)f{y)dy + C, + j

С2 - С\ -

{l-y)f{y)dy

(22.33)

В механике принято называть начальными данными (начальными условиями) величины, которые задаются в начальный момент времени t = to или t = 0. Если уравнения МСС содержат производные по времени, то они называются начально-краевыми (нестационарными или, иногда, динамическими). Правые части таких уравнений, а также заданные величины в начальных и краевых условиях называются входными данными.

Статические задачи (как и стационарные) не содержат в своей формулировке времени. Для таких задач начальных условий во входных данных нет.

Если же время входит как параметр в правые части и краевые условия, но уравнения не содержат производных по времени, то

Начнём с простейшего примера. Пусть требуется решить обыкновенное дифференциальное уравнение

g=/W (22.29)

При X 0. Заданная функция /(х) называется правой частью уравнения (22.29). Чтобы решение было единственным, надо записать дополнительные условия (начальные данные) при х =

= 0- du

и = Си = С2. (22.30)

Задача (22.29), (22.30) называется задачей Коши. Очевидно, она имеет единственное решение

такие задачи называются квазистатическими или квазистационарными. Начальные условия для них также не задаются.

Область V, занимаемая сплошной средой, может быть ограничена замкнутой поверхностью И, но может быть и неограниченной. В последнем случае нужно задавать ещё дополнительные условия на бесконечности. Может случиться, что поверхность S содержит особые точки (например, рёбра или конические точки). Тогда в них также должны быть заданы некоторые дополнительные условия.

Не будем здесь рассматривать вопрос о необходимом числе краевых и дополнительных условий, а приведём примеры для разобранных моделей. Рассмотрим сначала модель идеальной жидкости (лекция 9). Уравнения движения Эйлера (9.9) в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид

= + jr. (22.34)

at р

В силу того что в уравнениях (22.34) присутствует только первая производная по времени, начальное условие при 1 = 0 для вектора v будет одно:

Уг = vl (22.35)

В правой части уравнений (22.34) имеются производные по координатам от одной скалярной величины - давления р. Следовательно, граничное условие для р на поверхности S с единичной нормалью п будет одно:

р\=р. (22.36)

Граничное условие (22.36) называется статическим.

Если же идеальная жидкость движется в области V, ограниченной поверхностью И, не протекает сквозь эту поверхность и не отрывается от неё, то граничное условие {условие непротекания) на S будет, разумеется, тоже одно:

у\=Угщ\=у1 (22.37)

граничное условие (22.37) называется кинематическим. Его единственность физически оправдана тем, что в идеальной жидкости на касательные составляющие вектора скорости v поверхность S не оказывает никакого влияния (вспомним парадокс Эйлера-Даламбера).