Иногда оказывается, что поверхность S разбита на две части: Si и 112, такие что Si U 112 = S, Si П 112 = 0. При этом на части поверхности Si задано статическое условие (22.36), а на части S2 кинематическое (22.37). Если же область V неограни-чена, то, как уже говорилось, требуется задать дополнительные условия на бесконечености.

Теперь можно говорить о постановке задачи, например, для идеальной несжимаемой жидкости. Эта задача заключается в отыскании трёх компонент вектора скорости v и давления р из решения трёх уравнений Эйлера (22.34) при учёте одного уравнения несжимаемости (9.10). При этом должны удовлетворяться начальные условия (22.35) и некоторые граничные условия, например (22.36), или (22.37), или смешанные: на части границы Si (22.36), а на оставшейся части S2 (22.37).

Рассмотрим теперь уравнения Навье-Стокса (9.54) для течения вязкой несжимаемой жидкости:

5 = + rjAv, + (22.38)

at р

Что касается начальных условий, то и для вязкой жидкости они записываются в виде (22.35). Однако в силу того что в уравнениях (22.38) содержатся вторые производные по координатам от вектора скорости, граничных условий на поверхности S будет три. При этом кинематические условия (9.55) (условия прилипания)

щ\=уГ (22.39)

означают, что на границе S все три компоненты скорости жидкости совпадают с заданными компонентами vj вектора скорости твёрдого тела, движущегося вместе с S. Статические граничные условия (9.56) выглядят следующим образом:

{a.,n,)\ = Sf. (22.40)

Разумеется, и здесь можно сформулировать смешанные граничные условия.

Итак, задача о движении вязкой несжимаемой жидкости заключается в отыскании трёх компонент вектора скорости v и давления р из решения трёх уравнений Навье-Стокса (22.38) и уравнения несжимаемости (9.10) при удовлетворении начальным данным (22.35) и граничным условиям (22.39), или (22.40),

или смешанным. В последних двух случаях нужно в граничных условиях использовать определяющие соотношения вязкой жидкости

(Угз = -Vij + 2piDij, /ii = г]р, (22.41)

и выражения

D,j = {v,j+vj,) (22.42)

Постановка задачи линейной теории упругости была уже рассмотрена в лекции 10. Напомним, что для изотропной среды задача заключается в отыскании трёх компонент вектора перемещений и из решения уравнений Ламе (10.36)

= + Р) + Р + (22-43)

в = щ = [у (22.44)

Так как в уравнения (22.43) входит вторая производная по времени от компонент перемещений, должны выполняться уже два векторных начальных условия при t = 0:

щ = , = vl (22.45)

Кроме того, необходимо удовлетворение кинематических

, = ul (22.46)

или статических (22.40), или смешанных граничных условий. Как и в вязкой жидкости, в последних двух случаях должны учитываться определяющие соотношения линейной упругости

(Jij = XeSij + 2peij (22.47)

и соотношения Коши

егз = \{щ,з+Щ,). (22.48)

В статической или квазистатической задаче теории упругости нужно найти перемещения из решения трёх уравнений равновесия:

(Л + /i)6>,i + р/щ + pFi = О, (22.49)

при удовлетворении граничным условиям (2.40) либо (2.46).

Отметим важную особенность уравнений равновесия в теории упругости. При выполнении неравенств (10.29) система уравнений (22.49) является системой эллиптического типа, и её никакими предельными переходами нельзя получить из системы уравнений движения (22.43), принадлежащей гиперболическому типу. Однако уравнения параболического типа, к коим относятся уравнения Навье-Стокса (22.38) и уравнение теплопроводности (20.46), при установившемся режиме (течения жидкости или распределения температуры) превращаются в стационарные уравнения эллиптического типа.