Подставляя соотношения (2.29) в (2.30), получим

= {Vj,-V ), (2.31)

T. e. компоненты тензора вихря - антисимметричная часть объекта Vji, называемого градиентом скоростей. Его симметричную часть будем обозначать vij.

УгЗ = Vji = Vji - (jJij = -[Vij + Vji),

(2.32)

и называть компонентами тензора скоростей деформаций.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед со сторонами Axi, Ах2, Ахз, рёбра которого лежат на координатных осях прямоугольной декартовой системы с ортами ki (рис. 13).

Рис. 13

Объём АУ этого параллелепипеда равен АХ1АХ2АХ3. Бесконечно малый объём АУ удобно записать в виде

dV = dx\ dx2 dx. (2.33)

Объём V, занимаемый сплошной средой, будем обозначать V:

v\v\ =

(2.34)

Наряду с координатными элементами объёма будем также рассматривать координатные элементы площади dTi [36]:

dTa = dxp dx [oL + 7 7. 7 7

(2.35)

Для площадки (рис. 13), проходящей через точки А\, А2, Аз, с единичной внешней нормалью п можно записать

= riiki = -ki = dTiki.

(2.36)

Следовательно,

dT = dx\dx2 k + dx2dx k\ + dxdx\ 2 =

= (dx\ k\ - dxs ks) X {dx2 2 <з з) = <i2 x db\, (2.37)

T. e. векторный элемент площади есть векторное произведение образующих эту площадь векторов db2 и db\, изображённых на рис. 13.

Элементарным потоком dV поля а{х\,Х2,х) через векторный элемент площади назовём скалярную величину

dV = ddY. = aidTi, или dV = adS,

(2.38)

где a() = а n - проекция a на нормаль, или нормальная составляющая вектора а на площадке dS.

Пусть теперь V - некоторая область в М с границей dV = = S, на которой определена внешняя единичная нормаль п (рис. 14). Пусть в V определено векторное поле а{х\,Х2,х).

Рис. 14

По формуле Ньютона-Лейбница для первой компоненты ai(xi,X2,X3) можно записать

ах =

dxi +ai(xio).

(2.39)

Умножим обе части (2.39) на координатный элемент площади dSi, равный согласно (2.35) dx2dx\

a\dT\ =

\ XXQ

да\ дх\

dx2dxs + а\(xio)<ix2<ix3. (2.40)

Проинтегрировав равенство (2.40), получим

9а 1

aidSi =

dV.

(2.41)

Соотношение, аналогичное (2.41), справедливо и для двух других компонент а2, аз вектора а. Поэтому

dV =

ajdYij =

Y? + + ?V-fdivady. (2.42)

\дх\ дх2 oxs J J

Подставляя из (2.38) связь dV с dS, окончательно получим формулу Остроградского-Гаусса:

aW =

dwadV,

(2.43)

Т. е. объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен интегралу по поверхности этого объёма от скалярного произведения самого поля и единичной нормали к поверхности.

Левая часть (2.42) представляет собой поток V векторного поля а через всю границу S (рис. 15). Таким образом.

dV = dwddV,

(2.44)

откуда следует, что дивергенция векторного поля есть изменение потока в единице объёма. В этом состоит механический смысл дифференциального оператора div, определённого в (2.21).