§ 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ЛАГРАНЖА И ЭЙЛЕРА

Существуют две точки зрения на изучение движения жидкости: точка зрения Лагранжа и точка зрения Эйлера. Соответственно используются два вида переменных - переменные Лагранжа и переменные Эйлера.

Точка зрения Лагранжа. Пусть то - объем некоторой массы жидкости, который она занимала в начальный момент времени to- В момент времени t эта масса жидкости будет занимать объем т. Между точками то и т имеется взаимнооднозначное соответствие. Произвольная частица объема то, которая в момент 0 находилась в точке Ао, перешла в определенную точку А жидкого объема т. Положение частицы определяется координатами х, у, г той точки пространства, в которой частица находится в момент времени t. Координаты частицы в момент / зависят от положения, которое частица занимала в начальный момент времени. Начальное положение частицы может быть задано ее декартовыми координатами а, Ь, с в момент времени 0- Таким образом, координаты частиц представляются в виде

х = х(а, Ъ, с, t),

y = y(a,b, c,t), (1.1)

z = z{a, b, с, t).

Соответственно гидродинамические величины записываются так же, как функции а, Ь, с, t:

р = р (а, Ь, с, t),

v = v(a, й, с. О, (1.2)

Г = Г(а, Ь. с, t).

Переменные а, b, с, t носят название переменных Лагранжа. Равенства (1.1) и (1.2) при фиксированных а, Ь, с дают координаты и гидродинамические характеристики частицы, начальное положение которой определяется координатами а, Ь, с. При фиксированном t равенства (1.1) и (1.2) дают координаты и гидродинамические величины различных частиц в зависимости от значений их начальных параметров а, Ь, с.

Точка зрения Эйлера. В пространстве выбирают некоторую точку А, декартовы координаты которой х, у, z. В разные моменты времени через эту точку А будут проходить различные частицы жидкости, имея свои значения гидродинамических величин. Представляет интерес изменение искомых гидродинамических величин в фиксированной точке пространства в зависимости от времени. Движение, с точки зрения Эйлера, считается известным, если известны функции

р = р(д;, у, Z, t),

v = v(x, у, Z, t), (1.3)

Т = Т{х, у, Z, t).

Равенства (1.3) дают гидродинамические величины жидкой частицы, которая в момент времени t находится в точке с координатами X, у, Z. Переменные х, у, z, t носят название переменных Эйлера.

Замечание. При рассмотрении переменных Лагранжа и переменных Эйлера мы использовали декартову систему координат. Можно вместо декартовых координат а, Ь, с и х, у, z использовать любые другие координаты.

§ 2. ПЕРЕХОД ОТ ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА К ПЕРЕМЕННЫМ ЭЙЛЕРА И ОБРАТНО

1. Пусть задача математического описания движения жидкости решена в переменных Лагранжа и требуется записать решение в переменных Эйлера. В переменных Лагранжа решение имеет вид

х = х(а, Ь, с, i), у = у{а, b, с, t), z = z{a, Ъ, с, t); (2.1)

Vx = Vx{a, Ъ, с, t), Vy = Vy(a, b, с, t), v = v{a, b, с, t); (2.2)

p = p(a, 6, с, 0, Т=Т{а,Ь, с, t). (2.3)

Так как между координатами х, у, z м а, Ь, с имеет место взаимно-однозначное соответствие, то якобиан

При t - to а = X, Ь = у, с - Z м якобиан равен единице. Систему (2.1) можно разрешить относительно а, 6, с и найти

а=-а{х, у, Z, t), b = b {х, у, z, t), с = с {х, у, z, t). (2.5)

Подставив (2.5) в (2.2) и (2.3), получим решение задачи, записанное в переменных Эйлера:

Vx = Vx{x, у, Z, t), Vy = Vy{x, у, Z, t), Vz = Vz{x, у, z, t); (2.6) p = p (л:, у, z, t), T = T {x, y, z, t). (2.7)

2. Пусть задача решена в переменных Эйлера. Это значит, что гидродинамические величины известны в виде (2.6) и (2.7). Чтобы осуществить переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа, надо прежде всего найти формулы вида (2.1), связывающие координаты х, у, z с переменными а, Ь, с, t. В формулах (2.1) величины а, Ь, с играют роль начальных координат, постоянных для каждой частицы, а время t - независимая переменная. Поэтому, рассматривая координаты частицы как функции времени, можем написать

dx dy dz ,п о\

Но Vx, Vy, Vz известны в виде (2.6). Подставив (2.6) в правые части (2.8), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для отыскания искомой зависимости вида (2.1)

=Vx{x, у, Z, t), = Vy{x, у, z, t), = Vz{x, у, z, t). (2.9)

Проинтегрировав систему (2.9), найдем х, у, z как функции t:

х = х{Си С2, Сг, t), у = у{С:, С Сз, t), zziC, С Сг, t).

(2.10)

Здесь Сь Сг, Сз - произвольные постоянные. По определению при t - to X = а, у - b, Z == с. Подставляя эти значения в (2.10) и решая полученные равенства относительно Сь Сг, Сз, находим С], Сг, Сз как функции а, Ь, с. Подставляя С, {а, Ь, с, to) в (2.10) и опуская при написании аргумент to, так как он один и тот же для всей задачи, получаем искомые формулы (2.1). Если теперь формулы (2.1) подставить в известные выражения для гидродинамических величин (2.6) и (2.7), то получим эти величины в переменных Лагранжа.

Замечание. Переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа более сложен, так как он связан с необходимостью интегрировать систему дифференциальных уравнений.

§ 3. ИНДИВИДУАЛЬНАЯ И МЕСТНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ

Индивидуальная производная. Пусть А - некоторая гидродинамическая величина (векторная или скалярная). Для выделенной жидкой частицы эта величина будет зависеть только от времени: А = A{t). Изменение величины А в предположении, что эта величина относится к фиксированной частице, характеризуется производной от А по времени, которая