в различных точках. Интеграл есть функция времени I = I{t). Нас будет интересовать величина

= \\\Adr. (15.2)

Получим выражение для производной - в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа.

1. Вычисление в переменных Эйлера. Рас-

смотрим два близких момента времени t и f = t-\-/S.t. Для момента времени t сохраним введенные обозначения: А{х,у, zJ)=A, - Значения всех функций в момент /= = + будем отмечать штрихами. Таким образом,

При малых Д/ можем записать

X х-х

M = l-I=\\\iA-A)d.+ \\\Adr.

X х-х

Подынтегральная функция А - А вычисляется в точках, при-надлежаших объему т, но А вычисляется в момент t, а А - в момент f = t-\-At. С точностью до малых более высокого порядка

A-A = At+ ... Учитывая это, приходим к равенству

X х-х

Преобразуем второе слагаемое в (15.4) так, как это уже делали в § 14.

Элемент dx объема т - т выберем в виде dx = dSAn = dSVnAt. Тогда

]\\Adx = At\AvndS.

х-х S

Равенство (15.4) можно теперь записать в виде

д/ = д? J J J rft + Д/ J J Ло dS. t s

Разделим обе части на At и устремим At к нулю. Прн этом А перейдет в Л, п мы получим

4f=SSS47-+SS - 05.5)

Как обычно, преобразуем интеграл по поверхности к интегралу по объему:

Avn dS=\A[vx cos (лГл;) + Vy cos (ny) + f г cos (nz)] dS =

i(Av,) + {AVy) + iAv,)

dy dl

Таким образом, для производной получи.м выражение

+ (Avx) + {Avy) + (Лу,) dx. (15.6)

Подынтегральное выражение можно преобразовать к другому виду, раскрывая производные от произведений:

4 + 1и..) + (Л.,) + -(л..) =

дА ,

дА , дА , дА ,

. CdVx , dvy dvz\ dA

Соответственно равенство (15.6) примет вид

L dt

+ Л div V

(15.7)

2. Вычисление

dl dt

В переменных Лагранжа.

Рассмотрим объем т выделенной массы жидкости в момент /. Координаты частиц этого объема можно записать в виде

Х=х(а, Ь, с, i), у = у{а, Ь, с, /), z = z{a, b, с, /),

где а, Ь, с - координаты этих частиц в момент времени to. когда декартовы координаты совпадали с координатами Лагранжа X = а, у = Ь, Z = с, а объем т занимал объем то-В интеграле (15.1), который нужно дифференцировать, перейдем от переменных х, у, z к переменным Лагранжа. Тогда

(15.8) 37

Но в этом случае объем интегрирования то постоянен для всех моментов времени, и можно дифференцировать под знаком интеграла. Таким образом.

t to

D ix, y, z)

D (a, b, c) J

da db dc.

Сделаем переход в правой части равенства от переменных а, Ь, с к переменным х, у, г, учитывая при этом, что

Р(а, Ь, с) \ Р(х, у, z) D (х, у, Z) ID (а, Ь, с) J

Тогда получим

L dt

D (а, Ь, с) .

dx. (15.9)